МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 2. Дополнительные построения в геометрии (13.10.2007)

1.

В треугольнике ABC биссектриса AE равна отрезку EC. Найдите угол ABC, если AC=2AB.

2.

Угол между двумя высотами остроугольного треугольника равен 60° и точка пересечения высот делит одну из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Докажите, что этот треугольник равносторонний.

3.

Серединные перпендикуляры к сторонам AB и CD четырёхугольника ABCD пересекаются на стороне AD. Докажите, что если ∠A=∠D, то диагонали четырёхугольника равны.

4.

В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°, AM и CN - его высоты, а Q - середина стороны AC. Докажите, что треугольник MQN - равносторонний.

5.

Дана прямоугольная трапеция ABCD с прямыми углами A и D (AB > CD). Известно, что биссектриса угла ABC пересекает AD в середине. Докажите, что BC=AB + CD.

6.

Внутри острого угла XOY взяты точки M и N так, что ∠XON=∠YOM. На отрезке OX выбирается точка Q так, что ∠NQO=∠MQX, а на отрезке OY выбирается точка P так, что ∠NPO=∠MPY. Докажите, что длины ломаных MPN и MQN равны.

7.

Внутри треугольника ABC проведены отрезки AD, CE (D, E принадлежат BC и AB соответственно). Пусть O - точка их пересечения. Оказалось, что ∠DAC=∠ECB, ∠BAD= ∠OBC. Докажите, что D - середина стороны BC.