МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 3. Уравнения и целые числа (20.10.2007)

1.

16 блокнотов стоят столько же рублей, сколько блокнотов можно купить на 1 рубль. Сколько стоит блокнот?

2.

Собрались 60 знакомых, некоторых из которых зовут Денис Всеволодович, некоторых - Денис Денисович, некоторых - Всеволод Всеволодович, некоторых - Всеволод Денисович и, возможно, есть Арсении Андреевичи. Сколько Арсениев в этой компании, если Всеволодов в 7 раз больше, чем Денисов, а Денисовичей в 4 раза больше, чем Всеволодовичей?

3.

Три брата родились в один и тот же день, но в разные года. Когда старшему из них исполнилось 13 лет, то сумма возрастов всех трех братьев нацело разделилась на 13. Докажите, что когда среднему из братьев исполнится 13 лет, то сумма возрастов всех братьев не будет кратной 14.

4.

Трое школьников разделили 24-буквенный алфавит на три части, и каждый выучил только свою часть. Затем каждый из них выписал все двухбуквенные слова, которые он смог составить из известных ему букв. Оказалось, что ровно половина слов написана Серёжей. Сколько букв он выучил?

5.

Квадрат 8×8 распилили на квадраты 2×2, доминошки 1×2 и пентаминошки, имеющие вид прямоугольников 2×3 с выкинутой угловой клеткой. Известно, что общая длина распилов равна 52. Сколько могло получиться квадратов, если пентаминошек оказалось больше, чем доминошек?

6.

Крокодил, пеликан и кашалот съели в общей сложности 37 рыб, причём кашалот съел во столько же раз больше пеликана, во сколько пеликан съел больше крокодила. Сколько рыб съел пеликан?

7.

Найдите все такие пары натуральных чисел (a,b), что числа a³ + 6ab + 1 и b³ + 6ab + 1 - точные кубы.

8.

Решите уравнение (n! − 1)²=m! + 1.