МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 10. Клетчатые доски (19.01.2008)

1.

На клетчатой плоскости дано 5 произвольных узлов целочисленной сетки. Докажите, что середина хотя бы одного из отрезков, соединяющих какие-то два из этих узлов, также является узлом сетки.

2.

Можно ли в клетчатой таблице а) 4×4; б) 5×5 покрасить некоторые клетки так, чтобы любая клетка таблицы граничила по стороне ровно с одной закрашенной клеткой?

3.

Можно ли на доску 6×6 поставить 8 ферзей так, чтобы каждый из них бил не более одного другого?

4.

Дно коробки 5×5 выложено квадратными плитками 1×1, на каждой из которых стоит одна из стрелок →, ←, ↑ или ↓. За один ход разрешается, выбрав любые две плитки, повернуть одну из них на 90° по часовой, а другую - на 90° против часовой стрелки. Можно ли за несколько ходов придать всем стрелкам направление, противоположное первоначальному?

5.

На клетчатой доске размером 1000×1000 стоят красные, синие и зеленые фишки (в каждой клетке - не больше одной фишки). Рядом (в соседних по стороне клетках) с любой красной фишкой стоят 2 синие, а рядом с любой синей - 3 зеленые. Докажите, что есть зеленая фишка, рядом с которой нет красных.

6.

На шахматной доске расставлены n фишек так, что в любом квадрате 3×3 находятся ровно 3 фишки.

а)

При каком наибольшем n это возможно?

б)

При каком наименьшем n это возможно?

7.

Узлы клетчатого квадрата 17×17 раскрашены в красный и синий цвета. Известен цвет узлов на границе квадрата: все узлы на верхнем краю и все узлы на правом краю, кроме самого нижнего - красные, а остальные - синие. Докажите, что найдётся клетка, у которой ровно две вершины - красные, причём эти вершины соседние.