МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 13. Параболы (16.02.2008)

1.

а)

Сколько общих точек могут иметь две параболы, являющиеся графиками квадратных трёхчленов в одной и той же системе координат?

б)

Через точку А параболы проведены всевозможные прямые. Сколько из них имеют с параболой только одну общую точку?

2.

а)

Существуют ли три квадратных трёхчлена такие, что каждый из них имеет действительный корень, а сумма любых двух из них не имеет действительных корней?

б)

Существуют ли три квадратных трёхчлена такие, что каждый из них имеет два различных действительных корня, а сумма любых двух из них не имеет действительных корней?

3.

Докажите, что если c(a + b + c) < 0, то уравнение ax² + bx + c=0 имеет корень.

4.

Рассмотрим квадратичные функции y=x² + px + q, для которых p − q=2008. Покажите, что все параболы, являющиеся графиками этих функций, пересекаются в одной точке.

5.

Значение трехчлена ax² + bx + c при всех целых x является четвёртой степенью целого числа. Какими могут быть коэффициенты a, b и c?

6.

Существуют ли а) три; б) четыре таких квадратных трехчлена, что, записав их в любом порядке, мы сможем найти число, при подстановке которого в эти трехчлены полученные значения будут записаны в строго возрастающем порядке?

7.

Можно ли на плоскости разместить конечное число парабол так, чтобы их внутренние области покрыли всю плоскость?