МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководитель Коробицын Дмитрий Александрович
2007/2008 учебный год

Занятие 8. Целая и дробная часть числа (08.12.2007)

Целой частью [x] числа x называется наибольшее целое число, не превосходящее x. Дробной частью числа x называется такое число {x}, что [x] + {x}=x.

1.
Какие числа по модулю меньше модуля своей целой части?
2.
Постройте графики функций: а) y=[x]; б) y={x}.
3.
Найдите наименьшее число x, удовлетворяющее неравенству [x]{x} ≥ 3.
4.
Докажите равенство: [x + 1⁄2]=[2x] − [x].
5.
Докажите неравенства: а) 0 ≤ [2x] − 2[x] ≤ 1; б) [2x] + [2y] ≥ [x] + [y] + [x + y].
6.
Решите систему уравнений:
{ x +[y] +{z} =3,9
y +[z] +{x} =3,5.
z +[x] +{y} =2
7.
Докажите для натуральных n:
а)
[V 1 ]+[V 2 ]+...+[V n² − 1 ]=n(n − 1)(4n + 1)⁄6, где n ≥ 2;
б)
[V n(n + 1)(n + 2)(n + 3) ]=n² + 3n.
8.
На плоскости расположено [n·4⁄3] прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат. Известно, что любой прямоугольник пересекается хотя бы с n другими. Докажите, что найдётся прямоугольник, пересекающийся со всеми остальными.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS