МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9 класса

Игра. Математический бой

1.

Хозяин послал работника на базар купить 20 птиц: гусей, уток и цыплят. Он дал работнику 48 $. Гусей велел покупать по 3 $ за штуку, уток — по 1 $, а цыплят — по 0,5 $. Сколько гусей, сколько уток и сколько цыплят купил работник?

Ответ

Ответ. 15 гусей, 1 утка, 4 цыплёнка.

2.

Напишите (выразите) 100 шестью одинаковыми цифрами. Кроме цифр, разрешается пользоваться также знаками сложения, вычитания, умножения, деления.

Ответ

Ответ. 99 + ⁹⁹/₉₉ = 100

3.

Разрежьте крестик (см. рисунок) на 5 частей так, чтобы из них можно было составить квадрат.

4.

Жил в ауле старик. И было у него 3 сына. Когда старик умер, он оставил наследство — 17 верблюдов, и завещал их распределить так: старшему сыну отдать половину стада, среднему одну треть, а младшему одну девятую часть стада. Причем условие поставил такое — ни одного верблюда не резать. Принялись сыновья делить наследство. Делили, делили, но разделить не смогли. Старший требует себе половину стада — 17 пополам, т.е. 8,5; как же верблюда пополам делить? Остальные братья тоже не хотят уступать, требуют свою долю. Долго спорили братья, но решить ничего не могли. В это время на верблюде через аул проезжал старик. Подъехал он к братьям и спрашивает: «О чем вы спорите, дети?» Ему рассказали. Улыбнулся лукаво старик и говорит: «Я разделю!» И разделил наследство. Все 3 брата остались довольны, а старик сел на своего верблюда и поехал дальше. Как мудрый старик поделил верблюдов?

Решение

Решение. Старик добавил к 17 верблюдам своего. Затем стадо в 18 верблюдов он разделил на 2 части и 9 верблюдов передал старшему сыну. Затем 18 разделил на 3 и 6 верблюдов отдал среднему сыну. И, наконец, 18 разделил на 9, и 2 верблюда достались младшему сыну. Т.о. он очень мудро разделил 17 верблюдов между сыновьями (9 + 6 + 2 = 17). А на своем верблюде старик поехал дальше.

5.

Учительнице одной из школ штата Нью-Йорк подложили кнопку на стул. Сделать это мог только кто-нибудь из пяти учеников: Лилиан, Джуди, Дэвид, Тео или Маргарет. При опросе этих учащихся каждый из них дал по 3 показания:

Лилиан:	1) я не подкладывала кнопку,
	2) я никогда в своей жизни не подкладывала никому кнопки,
	3) это сделал Тео.
Джуди:	4) я не подкладывала кнопку,
	5) у меня и кнопок-то с собой не было,
	6) Маргарет знает, кто это сделал.
Дэвид:	7) я не подкладывал кнопку,
	8) с Маргарет я не был знаком до поступления в школу,
	9) это сделал Тео.
Тео:	10) я не виновен,
	11) это сделала Маргарет,
	12) Лилиан лжет, утверждая, что я подложил кнопку,
Маргарет:	13) я не подкладывала кнопку,
	14) в этом виновна Джуди,
	15) Дэвид может поручиться за меня, т.к. знает меня со дня рождения.

При дальнейших расспросах каждый из учеников признал, что из сделанных им трех заявлений два верных и одно неверное. Определите, кто из учеников подложил кнопку.

Решение

Решение. Рассуждения могут быть проведены, например, в такой последовательности. Если (3) верно, тогда (10) и (12) — ложь, а это невозможно по условию. Следовательно, (3) — ложь (т.е. кнопку подложил не Тео). Т.к. (3) — ложь, то и (9) — ложь. Т.к. (9) — ложь, то (8) верно. Т.к. (8) — верно, то (15) — ложь. Если (15) — ложь, то (14) — верно. Следовательно, виновна Джуди.

6.

а)

Представьте себе, что земной шар один раз опоясан по экватору верёвкой. Эту веревку разрезали, прибавили к ней 1 метр и снова растянули в окружность вокруг Земли так, что центр окружности совпадает с центром Земли (так, как показано на рисунке). Пройдет ли в образовавшийся зазор апельсин?

б)

Представьте себе, что теперь опоясали футбольный мяч, затем прибавили к верёвке 1 метр, так же как в пункте (а) растянули вокруг мяча и снова пытаются просунуть апельсин. Пройдет?

в)

Ту же самую процедуру проделали с шариком для настольного тенниса. Образовался зазор между шариком и веревкой, к которой прибавлен 1 метр. Пройдет ли в зазор апельсин?

Решение

Решение. Пусть r — радиус земного шара, или футбольного мяча, или теннисного шарика, R — радиус окружности растянутой верёвки, l — длина экватора. Тогда длина верёвки равна l + 1, а величина зазора равна R − r. По формуле длины круга l = 2πr, l + 1 = 2πR, откуда R − r = ¹/_2π ≈ 16 см. Эта величина не зависит от исходной длины окружности и достаточна для того, чтобы протащить апельсин.

7.

Вычислите: 2005² − 2004·2006 + 2003·007 − … − 2·4008 + 1·4009.

8.

Есть три кучки камней. В двух их них по 11 камней, а в третьей — 13. Двое по очереди делают ходы. За один ход разрешается либо взять один камень из какой-то кучки, либо взять два камня по одному из двух различных кучек. Выигрывает тот, кто заберёт последний камень. Кто, первый или второй, выигрывает при правильной игре и как он должен играть?

Ответ Решение

Ответ. Второй.

Решение. Выигрывает всегда второй игрок. Он должен делать всегда так, чтобы в первой кучке было n камней, во второй — n камней и в третьей — n + 2 камня. То есть, если первый игрок берет 1 камень из какой-то кучки, то второй должен взять 2 камня из двух оставшихся кучек, если первый берет 2 камня из двух каких-то кучек, то второй должен взять 1 камень из оставшейся кучки. Таким образом после каждого хода второго игрока n уменьшается. После 11-и ходов второго игрока n станет равно нулю и останется одна кучка из двух камней. Первый игрок может взять только 1 камень. И последний камень заберет второй игрок.

9.

На рисунке справа изображен вид сверху некоторой объемной фигуры и ее вид сбоку (эти виды одинаковы). Пунктирными линиями на чертежах показываются скрытые линии (их на данном рисунке нет, значит, и самих скрытых линий в указанных видах нет). Что это за объемная фигура?

10.

В Чебабурге имеют хождение монеты трех видов: 1, 2 и 5 талеров. Масса каждой монеты одного из видов (в унциях) совпадает с ее достоинством (в талерах), масса каждой монеты другого вида в полтора раза больше ее достоинства, а масса каждой монеты третьего вида — в два раза больше. Имеется неограниченный запас монет каждого вида и чашечные весы без гирь. Какое наименьшее количество взвешиваний позволит наверняка определить массу монет каждого достоинства?

Ответ Решение

Ответ. Два взвешивания.

Решение. Каждая из трех монет может быть по массе равна ее достоинству, одна из двух оставшихся — в полтора раза больше достоинства, а оставшаяся — вдвое больше достоинства. Таким образом, всего возможно шесть различных вариантов. Одного взвешивания недостаточно. Действительно, если бы мы разложили какие-то монеты по двум чашкам, то результатов взвешивания может быть только три (два, когда одна чашка перевесила, и еще ситуация равновесия), и шесть вариантов различить будет невозможно. Двумя взвешиваниями обойтись можно. Покажем способ, когда не используются монеты достоинством 5 талеров. Составим таблицу вариантов, обозначив их буквами от A до F.

Вариант	Описание варианта	Масса монеты 1 талер	Масса монеты 2 талера
A	1 талер: масса равна достоинству, 2 талера: масса в 1,5 раза больше	1	3
B	1 талер: масса равна достоинству, 2 талера: масса в 2 раза больше	1	4
C	1 талер: масса в 1,5 раза больше, 2 талера: масса равна достоинству	1,5	2
D	1 талер: масса в 1,5 раза больше, 2 талера: масса в 2 раза больше	1,5	4
E	1 талер: масса в 1,5 раза больше, 2 талера: масса равна достоинству	2	2
F	1 талер: масса в 2 раза больше, 2 талера: масса в 1,5 раза больше	2	3

Первое взвешивание: на левую чашку две одноталеровые монеты, на вторую — одну двухталеровую. Используя таблицу, не трудно убедиться, что для вариантов C, E, F перевесит левая чашка, а для остальных вариантов — правая. В первом случае на левую чашку кладем четыре одноталеровые монеты, а на правую — три двухталеровые. Если весы в равновесии — то это вариант C, если перевесила левая чашка — вариант E, если перевесила правая чашка — вариант F. Во втором случае на левую чашку кладем три одноталеровые монеты, а на правую — одну двухталеровую. Если весы в равновесии — то это вариант A, если перевесила левая чашка — вариант D, если перевесила правая чашка — вариант B.

11.

В середине одной из стен квадратной комнаты 3×3 имеется проход шириной 1 м (показано на рисунке). Можно ли в эту комнату внести какой-нибудь стол, имеющий площадь более 4 м²?

Ответ Решение

Ответ. Можно.

Решение. Форма стола схематично показана на рисунке слева, как его внести — на рисунке справа. Площадь стола без треугольных вырезов может быть лишь чуть меньше 6 кв. м. Достаточно его длину взять чуть меньше трёх, а ширину — чуть меньше двух, чтобы обеспечить небольшой наклон стола относительно стен (показано на рисунке). Сам же наклон, какой бы малый он ни был, можно обеспечить достаточно большим количеством треугольных вырезов. Суммарная же площадь этих вырезов равна одной четверти общей площади стола без вырезов. Таким образом, в комнату можно внести стол с площадью почти 4,5 кв. м.

12.

Постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и сумме двух других сторон.