МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9 класса

Листок 12. Доказательство неравенств

1.

Доказать неравенства а) 2ⁿ > n; б) 4ⁿ > 7n − 5; в) 2ⁿ > 5n + 1, если n ≥ 5.

2.

Доказать, что если x > −1, то справедливо неравенство (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx (n > 1), причем знак равенства имеет место лишь при x = 0.

3.

Доказать неравенство при n > 1.

4.

Доказать неравенства:

а)

;

б)

2!·4!·…(2n)! > ((n + 1)!)ⁿ.

5.

Доказать неравенства:

а)

n^{n + 1} > (n + 1)ⁿ (n ≥ 3);

б)

(n ≥ 2).

6.

Доказать неравенство |x₁ + x₂ + … + x_n| ≤ |x₁| + |x₂| + … + |x_n|, где x₁, x₂, ..., x_n — произвольные числа.

7.

Доказать, что если a > 0, b > 0, c > 0, то выполнено неравенство , причём знак равенства имеет место лишь при a=b=c.

8.

Доказать, что если x₁· x₂·…· x_n=1, x₁ > 0, x₂ > 0, ..., x_n > 0, то x₁ + x₂ + … + x_n ≥ n, причём знак равенства имеет место лишь при x₁=x₂=…=x_n=1.

9.

Используя предыдущую задачу, доказать, что если x₁ > 0, x₂ > 0, ..., x_n > 0, то

,

причём знаки равенства имеют место лишь при x₁=x₂=…=x_n.