МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9 класса

Руководители Иван Александрович Дорофеев и Степан Львович Кузнецов
2005/2006 учебный год

Версия для печати

Листок 3. Уравнения в целых числах

1.
У фонарного столба стоит человек. Он может делать 5 или 7 шагов влево или вправо от столба. Сможет ли он оказаться в 3-х шагах справа от столба? Если сможет, то как он должен делать шаги?
2.
Найдите все решения уравнений в целых числах: а) xy=0; б) 3x − 5y=0; в) 15x − 9y=0.
3.
В уравнении 3x + 5y=13, выразив y через x, постройте график прямой y=f(x). Определите по графику, какие точки (x,y) на нем имеют целые координаты. С какими периодами по осям Ox и Oy повторяются эти координаты?
4.
Решите уравнение 5x − 7y=3 в целых числах "по шагам":
а)
найдите какое-нибудь одно решение (x0,y0), то есть такие x0 и y0, чтобы выполнялось равенство 5x0 − 7y0=3;
б)
докажите, что если (x,y) — любое решение уравнения 5x − 7y=3, то тогда 5(xx0) − 7(yy0)=0;
в)
найдите все решения уравнения 5z − 7t=0 в целых числах;
г)
найдите все решения уравнения 5x − 7y=3 в целых числах.
5.
Докажите, что для любых натуральных чисел a и b найдутся целые числа z и t, такие что НОД(a,b)=az + bt.
6.
Для уравнения ax + by=c:
а)
докажите, что оно имеет решения тогда и только тогда, когда c делится на НОД(a,b);
б)
докажите, что все его решения имеют вид:

где (x0,y0) — любое решение, а t пробегает все целые числа.
7.
Решите в целых числах уравнения: а) 3x − 5y=13; б) 3x − 5y=19; в) 10x − 15y= − 5.
8.
Вы предлагаете товарищу умножить число даты его рождения на 12, а номер месяца — на 31. Он сообщает вам сумму обоих произведений, и вы вычисляете по ней дату рождения. Как?

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS