МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9 класса

Листок 10. Последовательности

1.

Докажите, что последовательности, заданные следующими формулами, являются убывающими:

а)

б)

2.

Будет ли последовательность возрастающей или убывающей?

а)

;

б)

.

3.

Является ли ограниченной последовательность, заданная формулой n-го члена: а) 5 − 6n; б) ¹/_n; в) ^{( − 1)n}/_n; г) .

4.

Пусть a₁ = 1, a_n = a₁ + a₂ + ... + a_{n − 1} + 1 при n > 1. Докажите, что a_n = 2^{n − 1}.

5

(Задача Рамануджана)

а)

представляя n + 2 в виде и замечая, что n + 3 можно преобразовать по той же формуле, докажите равенство

;

б)

пусть . Докажите, что x_n удовлетворяет рекуррентному соотношению

в)

аналогичным способом докажите равенство

;

г)

пусть

.

Какому рекуррентному соотношению должно удовлетворять y_n?