МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9 класса

Листок 7. Разные задачи на построение

1.

Даны отрезки с длинами a и b. Построить отрезок длиной .

2.

Даны отрезки с длинами x₁, x₂, ..., x_n и y₁, y₂, ..., y_{n − 1}. Построить отрезок, имеющий длину .

3.

Даны отрезки с длинами a и b. Построить отрезок длиной c так, чтобы выполнялось равенство .

4.

Дан отезок длины a и острый угол α. Построить отрезки длины: а) acosα; б) ; в) ; г) .

5.

Даны три отрезка с длинами m_a, m_b и m_c. Постройте треугольник, у которого длины медиан, проведенных к сторонам a, b и c равны соответственно m_a, m_b и m_c. Построение выполните по шагам:

а)

докажите, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины треугольника;

б)

постройте треугольник со сторонами ²/₃m_a, ²/₃m_b, ²/₃m_c и докажите, что его медианы будут половинами соответствующих сторон искомого треугольника.

6.

Даны три отрезка с длинами h_a, h_b и h_c. Постройте треугольник, у которого длины высот, проведенных к сторонам a, b и c равны соответственно h_a, h_b и h_c. Построение выполните по шагам:

а)

возьмите произвольный отрезок l, постройте треугольник со сторонами ^l²/_ha, ^l²/_hb, ^l²/_hc и докажите, что получившийся треугольник подобен искомому;

б)

постройте искомый треугольник, длины высот которого равны h_a, h_b и h_c.