МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Начнём считать пальцы на руке следующим образом: пусть 1-м будет большой, 2-м — указательный, 3-м — средний, 4-м — безымянный, 5-м — мизинец, 6-м — снова безымянный, 7-м — средний, 8-м — указательный, 9-м — большой, 10-м — указательный, и так далее. Какой палец будет 2017-м?

Убедитесь, что а) ¹/₃ = 0,(3); б) ¹/₆ = 0,1(6); в) ⁷/₃₀ = 0,2(3); г) ⁷/₁₁ = 0,(63).

Найдите сотую цифру после запятой десятичной записи числа ¹/₇.

Разделите «уголком» число 1 на а) 9; б) 99; в) 9 999.

г) Докажите общее правило: ¹/_99...9 = 0,(0...01). (В знаменателе — n девяток, в скобках — (n – 1) нулей.)

д) Чисто периодическая правильная дробь равна такой обыкновенной дроби, в числителе которой — период, а в знаменателе — число 10^r – 1 = 9...9 (r девяток), где r — длина периода. Докажите это.
 

Обратите в десятичные дроби числа: а) ²³/₉₉; б) ¹²³⁴/₉₉₉₉₉₉.
 

Сколько чисел, кратных 13, имеется среди первых ста чисел последовательности 1, 11, 111, 1111,...?
 

Если число вида 11...11 кратно 7, то оно кратно и 11, и 13, и 15 873. Докажите это.
 

Первую цифру k-значного числа, кратного 13, стёрли и записали позади последней цифры этого числа. При каких k полученное число кратно 13? (Например, из кратных 13 чисел 503 906 и 7969 таким образом получаем числа 39 065 и 9 697, первое из которых кратно 13, а второе — нет.)
 

а) Решите ребус ПЛОМБА · 5 = АПЛОМБ.
б) Найдите шестизначное число, уменьшающееся в 5 раз при переносе первой цифры в конец числа.
в) Решите ребус НИКЕЛЬ · 6 = ЕЛЬНИК.

Число оканчивается на 2. Если эту цифру перенести в начало числа, оно удвоится. Найдите наименьшее такое число.
 

Какой цифрой оканчивается число 33⁷⁷ + 77³³?
 

Найдите две последние цифры числа 2²⁰⁰⁰.
 

Какова последняя цифра числа 9999⁹⁹⁹⁹⁹⁹?
 

Пятизначное число делится на 41. Докажите, что если его цифры циклически переставить, то полученное число тоже будет делиться на 41. (Например, зная, что 93 767 делится на 41, можно утверждать, что и 37 679 делится на 41.)
 

а) Рассмотрим числа: 1, 11, 111, 1111,... Докажите, что среди них найдутся два числа, разность которых делится на 196 673.
б) Докажите, что существует число, записываемое одними только единицами и кратное числу 196 673.
в) Для любого натурального числа a, не делящегося ни на 2, ни на 5, существует такое натуральное число b, что произведение ab записывается в десятичной системе счисления одними только единицами. Докажите это.
 

Если натуральные числа a и m взаимно просты, то существует такое натуральное n, что aⁿ – 1 делится на m. Докажите это.