МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

На какое наименьшее число частей надо разрезать торт, чтобы его можно было раздать поровну как троим, так и четверым?

В скачках участвуют три лошади. Игрок может поставить некоторые (не обязательно одинаковые) суммы денег на каждую из них. Ставку на первую лошадь принимают в отношении 1 : 4. Это означает, что если первой прибежит первая лошадь, то игрок теряет деньги, поставленные на вторую и третью, но ему возвращают деньги, поставленные на первую, и ещё четыре раза по столько же. На вторую лошадь ставки принимают в отношении 1 : 3, а на третью — 1 : 1. Можно ли поставить деньги так, чтобы выиграть при любом исходе скачек? (Разумеется, считайте, что хотя бы одна лошадь прибегает первой: ситуация, когда ни одна из лошадей не достигает финиша, очевидно проигрышная для игрока и поэтому её не надо рассматривать.)

Какое наибольшее число сторон может иметь многоугольник, являющийся пересечением четырёхугольника и треугольника?

а) Конь вышел с некоторого поля шахматной доски и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал чётное число ходов.

Крест составлен из пяти равных квадратов. Разрежьте его на такие части, из которых можно (без дыр и перекрытий) составить квадрат.

Если от некоторого двузначного числа отнять 2, то результат разделится нацело на 3, а если отнять не 2, а 3, то разделится не на 3, а на 2. Если к этому числу прибавить 4, то результат разделится нацело на 5, а если от него отнять 5, то разделится на 4. Более того, если от этого числа отнять 5, то разделится нацело на 6, а если же от нашего числа отнять 6, то разделится на 5. И это ещё не всё: если к этому замечательному числу прибавить 7, то результат разделится на 8, а если прибавить 8, то разделится на 7. Что же это за число?

Придумайте 10 натуральных чисел, у которых и сумма, и произведение равны 20.

а) Когда комиссия приехала в больницу, там находились 3 врача и 1996 пациентов. Комиссия попросила каждого указать двух врачей. Каждый врач назвал двух других врачей, а пациенты называли кого угодно. Докажите, что комиссия смогла выявить хотя бы одного пациента.

По кольцевой линии метро курсируют 24 поезда. Они идут в одном направлении с одинаковыми скоростями и равными интервалами. Сколько поездов надо добавить, чтобы при той же скорости уменьшить интервалы на ¹/₅?

В одной из трёх комнат сидит принцесса, в другой — тигр, а в третьей нет никого. На двери левой комнаты написано: «Тигр в правой комнате», на двери средней: «Левая комната пуста», на двери правой: «Принцесса в средней комнате». Известно, что надпись на двери комнаты, где сидит принцесса, истинна, надпись на двери комнаты, где сидит тигр — ложна, а надпись на двери пустой комнаты может быть как истинной, так и ложной. Где сидит принцесса, а где — тигр?

Разрежьте изображённую на рисунке фигуру на а) четыре; б) пять одинаковых частей. (Резать можно не только по сторонам и диагоналям клеток.)

Представьте число 203 в виде суммы нескольких натуральных чисел, произведение которых тоже равно 203.

Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из набора 1, 2,..., 1963, чтобы сумма любых двух выбранных чисел делилась на 26?