МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Ответ.

Указание. Нарисуйте граф, в котором 10 вершин (буквы слова ТРАНСПОРТИРОВКА), а стрелочки изображают неравенства. Затем «распутайте» эту вязь линий.

Указание. Посчитайте, сколько в фигуре клеток. Разделите полученное чиcло на 9.

Подсказка. Разрежьте фигуру на «гантельки».

Ответ.

Ответ. 101.

Указание. Пусть в короля попало x тухлых яиц и y кочанов гнилой капусты. Составьте уравнение и решите его.

Решение. Уравнение

64 + x + y = 4x + 6y

равносильно следующему:

3x + 5y = 64.

Это уравнение легко решить в целых неотрицательных числах: (x;y) = (3;11), (8;8), (13;5) или (18;2). Поскольку количество яиц кратно 3, а количество кочанов капусты чётно, из четырёх вариантов остаётся последний: x = 18 и y = 2. В этом случае 64 зрителя метали в Дэвида Гаррика младшего и Эдмунда Кина старшего (см. Марк Твен, «Приключения Гекльберри Финна») дохлых кошек, 18 · 5 : 3 = 30 — тухлые яйца, а 2 · 7 : 2 = 7 — гнилую капусту. Итого: 64 + 30 + 7 = 101.

Комментарий. Автор задачи — Игорь Фёдорович Акулич. Впервые задача была предложена на летнем конкурсе «Математика 6–8» журнала «Квант».

Ответ.

Ответ. 6 + 67 + 674 = 747.

Первый способ. Рассматривая разряд единиц, получаем равенство

А + В = 10.

Значит, есть перенос единицы из разряда единиц в разряд десятков. Если бы не было переноса из разряда десятков в разряд сотен, то буквы А и Б обозначали бы одну и ту же цифру, что невозможно. Следовательно,

А + 1 = Б

А + Б + 1 = В + 10.

Решим полученную систему трёх уравнений с тремя неизвестными, для чего сначала выразим В и Б через А:

а затем подставим эти выражения в третье уравнение системы:

А + (А + 1) + 1 = (10 – А) + 10

и решим полученное уравнение с одной неизвестной:

Следовательно, Б = А + 1 = 7 и В = 10 – А = 4.

Второй способ. Левую часть ребуса можно представить в виде

А + (10А + Б) + (100А + 10Б + В),

а правую — в виде

100Б + 10В + Б.

Таким образом,

111А = 90Б + 9В.

Поскольку 111 не делится на 9, а правая часть на 9 делится, то А делится на 3, то есть А = 3, 6 или 9. В первом из этих трёх случаев имеем

37 = 10Б + В,

откуда В = 7 и Б = 3, что невозможно, поскольку буквы А и Б должны обозначать разные цифры. Во втором случае

74 = 10Б + В,

откуда В = 4 и Б = 7, что удовлетворяет условию задачи. Наконец, в третьем случае имеем

111 = 10Б + В,

что невозможно, поскольку Б ≤ 9 и В ≤ 9.

Ответ.

Ответ. Нельзя.

Решение. Число 9 нечётно. Поэтому 9 ферзей нельзя разбить на пары бьющих друг друга.

Ответ. 20.

Решение. Поскольку количество лжеконтролёров и лжекондукторов в 4 раза меньше числа настоящих кондукторов и контролёров, то количество всех необычных пассажиров делится на 5. Аналогично, поскольку общее число контролёров и лжеконтролёров в 7 раз больше общего числа кондукторов и лжекондукторов, то количество необычных пассажиров делится на 8.

Следовательно, количество необычных пассажиров делится на 5 · 8 = 40. Единственным натуральным числом, не превосходящим числа 60 и делящимся на 40, является число 40. Следовательно, было 60 – 40 = 20 обычных пассажиров.

Указание I. Число, расположенное в красном кружочке, соединено с шестью числами, расположенными в жёлтых кружочках:

Рассмотрим, например, число 2. Его можно поставить рядом лишь с числами 4, 5, 6, 7 и 8. Таких чисел всего лишь 5 штук, а жёлтых кружков — 6. Значит, в красный кружок число 2 поставить нельзя. Рассуждая аналогично, приходим к выводу: в красный кружок нельзя поставить ни 3, ни 4, ни 5, ни 6, ни 7.

Указание II.

Если Вы внимательно прочитали указание I, то понимаете, что в один из двух красных кружков надо поставить число 1, а в другой — число 8. Поскольку у рисунка есть вертикальная ось симметрии, достаточно рассмотреть только один случай. Например, пусть единица расположена левее восьмёрки:

Поскольку восьмёрка соединена со всеми кружочками, кроме синего, то семёрку можно поставить только в синий кружок. Аналогично, двойку можно поставить только в зелёный кружок:

Поскольку сиреневые кружки соединены с двойкой, то тройку можно поставить только в один из коричневых кружков. Благодаря наличию горизонтальной симметрии, предположим для определённости, что тройка стоит в верхнем кружке:

Поскольку четвёрка и пятёрка не могут стоять в соседних кружках, то одна из этих двух цифр должна быть расположена рядом с тройкой. Четвёрка рядом с тройкой стоять не может, поэтому рядом с тройкой следует поставить пятёрку:

Дальнейшее очевидно: шестёрку нельзя ставить в кружок, соединённый с кружком, в котором стоит семёрка.

Ответ.

Ответ. Да, могло.

Решение. Например, если в исходном проекте было 5 подъездов, 4 этажа, а на каждом этаже — по одной квартире: 5 · 4 = 20, 3 · 7 = 21 и 1 · 10 = 10.

Указание. Яблоко всплывает, поэтому закончат трапезу они одновременно.

Ответ. Птичка съест ²/₃, а рыбка — ¹/₃.

Ответ. 2000.

Решение. Меньшие братья получили по

800 · 3 : 2 = 1200

рублей. Поэтому дома стоили по

1200 + 800 = 2000

рублей каждый.

Ответ. 4.

Решение. Пусть длина стороны нижнего среднего квадрата равна x. Тогда длина стороны правого нижнего квадрата равна x + 1, верхнего правого — (x + 2), левого верхнего — (x + 3), а искомая сторона нижнего левого квадрата равна

(x + 3) – (x – 1) = 4.

Ответ. Кафтан стоил 1 рубль.

Решение. Если за три дня работник получил кафтан, то за 30 дней работы он мог получить 10 кафтанов. С другой стороны, за 30 дней обещаны 9 рублей и кафтан. Значит, 9 кафтанов стоили 9 рублей.