|
Задачи по комбинаторике
|
273.
| В киоске продают 5 видов конвертов и 4 вида марок. Сколькими способами можно купить конверт и марку?
|
|
274.
| В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
|
Ответ
Решение
|
|
|
|
Решение. Капитаном может стать любой из 11 футболистов. После выбора капитана на роль его заместителя могут претендовать 10 оставшихся человек. Таким образом, есть 11 · 10 = 110 разных вариантов выбора.
Эта задача отличается от предыдущей тем, что выбор капитана ограничивает круг претендентов на роль заместителя:
капитан не может быть своим заместителем. Таким образом, выборы
капитана и его заместителя не являются независимыми — такими, как выборы конверта и марки.
| |
|
|
|
275.
| Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова КОНВЕРТ?
|
Ответ
Решение
|
|
|
|
Решение. Гласную можно выбрать двумя способами (О или Е), а согласную — пятью способами (К, Н, В, Р или Т).
|
| |
|
|
276.
|
Сколькими способами можно поставить на
шахматную доску белую и чёрную ладьи так, чтобы они не били
друг друга?
|
Решение
|
|
Решение. Белую ладью можно поставить на любую из
64 клеток. Независимо от своего расположения она бьёт 15 полей (включая поле, на котором она стоит). Поэтому остаётся 49 полей, на которые можно поставить чёрную ладью. Таким образом, всего есть 64 · 49 = 3136 разных способов.
| |
|
|
|
277.
|
Сколькими способами можно поставить на
шахматную доску белого и чёрного короля, чтобы получилась
допустимая правилами игры позиция?
|
Ответ
Решение
|
|
|
|
Решение. Белого короля можно поставить на любое из
64 полей. Однако количество полей, которые он при этом будет
бить, зависит от его расположения. Поэтому разберём три случая:
- если белый король стоит в углу (углов всего 4), то он бьёт
4 поля (включая то, на котором стоит) и остаётся 60 полей, на
которые можно поставить чёрного короля;
- если белый король стоит на краю доски, но не в углу (таких
полей 24), то он бьёт 6 полей, и для чёрного
короля остаётся 58 возможных полей;
- если же белый король стоит не на краю доски (таких
полей 36), то он бьёт 9 полей, и для чёрного
короля остаётся 55 возможных полей.
Таким образом, всего есть
4 · 60 + 24 · 58 + 36 · 55 = 3612
способов расстановки королей.
|
|
|
|
|
278.
|
Ранним утром на рыбалку
улыбающийся Игорь мчался босиком. Сколько осмысленных
предложений можно составить, вычёркивая некоторые слова
этого предложения? (Во все предложения обязательно должны
входить подлежащее Игорь и сказуемое мчался.)
|
Ответ
Решение
|
|
|
|
Решение. Для каждого из слов улыбающийся,
босиком и словосочетания на рыбалку есть две возможности: входить или не входить в предложение.
Поэтому если не учитывать слова ранним утром, то можно составить
2 · 2 · 2 = 8
предложений. Из каждого из них можно получить три предложения:
одно — со словами ранним утром, второе — только со словом утром, третье — без
этих слов.
|
|
|
|
|
279.
| Начальник транспортного цеха пригласил несколько человек на
совещание. Каждый участник совещания, входя в кабинет,
пожимал руки всем присутствующим. Сколько человек участвовали в совещании, если
было всего 78 рукопожатий?
|
|
280.
|
Крыса бежит по лабиринту, который устроен так, что
сначала она должна выбрать одну из двух дверей, затем одну из
трёх дверей, а за каждой из них её ожидают четыре двери.
Пройдя дверь, крыса не может вернуться через неё
обратно. Сколькими различными путями крыса может пройти
лабиринт от начала до конца?
|
|
281.
| В поход ходили 80% учеников класса, а на экскурсии
было 60% класса, причём каждый был в походе или на
экскурсии. Сколько процентов класса были и там, и там?
|
Ответ
Указание
|
|
|
|
Указание.
80 + 60 – 100 = 40.
|
|
|
| |
282.
| В классе 35 учеников. 20 из них
занимаются в математическом кружке, 11 — в биологическом, а 10
ничем не занимаются. Сколько ребят занимаются и математикой, и биологией?
|
Ответ
Указание
|
|
|
|
Указание.
Хотя бы в каком-то кружке занимаются
35 – 10 = 25 учеников. Далее,
20 + 11 – 25 = 6.
|
|
|
|
|
283.
| На дискотеке 80% времени был выключен свет, 90%
времени играла музыка и 50% времени шёл дождь. Какую
наименьшую долю времени всё это обязано было происходить
одновременно?
|
Ответ
Решение
|
|
|
|
Решение.
Перейдём к дополнительным событиям: свет был включен 20% времени, музыка молчала 10%,
а дождь не шёл 50% времени, так что дополнительные события не
могли занять более 20 + 10 + 50 = 80%
времени. Следовательно, музыка под дождём в темноте звучала не меньше
100 – 80 = 20%
времени.
|
|
|
|
|
284.
| Из 100 человек 85 знают английский язык, 80 —
испанский, 75 — немецкий. Сколько человек заведомо знают все
три языка?
|
Наводящий вопрос
|
|
Наводящий вопрос.
Сколько человек не знают английский язык?
испанский? немецкий?
| |
|
|
|
285.
| Каких натуральных чисел от 1 до 1993 больше: тех, которые кратны 8, но не кратны 9, или тех, которые
кратны 9, но не кратны 8?
|
Ответ
Решение
|
|
Ответ.
Тех, которые кратны 8, но не кратны 9.
|
|
|
|
Решение.
Добавим к тем и другим числа, кратные и 8, и 9. Остаётся сравнить количество чисел,
кратных 8 ([1993/8] = 249),
с количеством чисел, кратных 9 ([1993/9] = 221).
|
|
|
|
|
286.
| Сколько существует натуральных чисел,
меньших 1000, которые не кратны ни 2, ни 5? А не кратных ни 2, ни 3, ни 5?
|
|
287.
| Сколько существует шестизначных чисел,
в записи которых есть хотя бы одна чётная цифра?
|
Ответ
Указание
Решение
|
|
|
|
Указание. Вместо того, чтобы подсчитывать количество
требуемых шестизначных чисел, определите количество шестизначных
чисел, у которых все цифры нечётны.
|
|
|
|
Решение. Количество шестизначных чисел, в записи
которых встречаются только нечётные цифры, равно
56 = 15 625. Всего шестизначных чисел 900 000. Поэтому количество шестизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна чётная цифра, равно
900 000 – 15625 = 884 375.
|
|
|
|
|
288.
| Каких чисел больше среди первого миллиона: тех, в записи
которых есть цифра 7, или тех, в записи которых её нет?
|
|
289.
| Сколько семизначных чисел не
содержат цифры 2?
|
Ответ
Указание
|
|
Ответ.
8 · 9 · 9 · 9 · 9 · 9 · 9 = 4 251 528.
|
|
|
|
Указание.
Первую цифру можно выбрать 8 способами (потому что эта цифра —
не 0 и не 2).
Каждую следующую цифру можно выбрать 9 способами.
|
|
|
|
|
290.
| Сколькими способами 8 человек
могут встать в очередь к театральной кассе?
|
Ответ
Указание
|
|
|
|
Указание. Первого человека можно выбрать 8 способами, второго (после того, как выбран первый) можно выбрать 7 способами, третьего — 6 способами, и так далее.
| |
|
|
|
291.
| Сколько существует 9-значных чисел, цифры которых
расположены в порядке убывания (то есть каждая следующая меньше предыдущей)?
|
Ответ
Решение
|
|
|
|
Решение. Выпишем все цифры в порядке убывания:
9876543210. Чтобы получить девятизначное число, нужно убрать
одну цифру. Это можно сделать 10 способами.
|
|
|
|
|
292.
| Сколько разных чисел можно получить,
переставляя цифры чисел: а) 133;
б) 9854; в) 3213;
г) 98561; д) 32123?
|
|
293.
| Сколько различных (не обязательно
осмысленных) слов можно получить, переставляя буквы
слов: а) крот; б) математика;
в) наполеононенавистничество?
|
|
294.
| Сколько существует трёхзначных чисел, в запись
которых входит ровно одна цифра 5?
|
Ответ
Решение
|
|
|
|
Решение.
Для перечисления всех удовлетворяющих
условию задачи чисел рассмотрим три случая.
- Число начинается на цифру 5. Вторую цифру
(то есть разряд десятков) можно выбрать девятью способами,
после чего третью цифру (разряд единиц) можно выбрать также девятью
способами. Следовательно, в этом случае мы получаем
9 · 9 = 81 число.
- Цифра 5 — в разряде десятков. Первую
цифру можем выбрать восемью способами, а третью – девятью
способами, и поэтому таких чисел 8 · 9 = 72.
- Цифра 5 — в разряде единиц. Таких чисел 72.
Общее количество интересующих нас чисел равно
81 + 72 + 72 = 225.
| |
|
|
|
