МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 20 (2 апреля 2016 года). Остатки (продолжение)

1.

Найдите наименьшее положительное целое число, дающее остаток 1 при делении на 2, 2 при делении на 3, 3 при делении на 4, 4 при делении на 5, 5 при делении на 6.

2.

Вершины тысячеугольника занумерованы от 1 до 1000. Начиная с первой, отмечается каждая пятнадцатая вершина (1, 16, 31 и т.д.). Вершины отмечаются до тех пор, пока не окажется, что все отмечаемые вершины уже найдены. Сколько вершин останутся неотмеченными?

3.

У Пети на счету в банке лежит 500 долларов. Банк разрешает совершать операции только двух видов: снимать 300 долларов и добавлять 198 долларов. Какую максимальную сумму Петя может снять со счёта, если других денег у него нет?

4.

На какую цифру оканчивается число \(777^{777}\)?

5.

Найдите остаток от деления числа \(6^{100}\) при делении на 7.

6.

У Ивана-царевича есть два волшебных меча, а у Змея Горыныча сто голов. Первым мечом Иван всегда отрубает Змею Горынычу 21 голову, вторым — 4, но тогда у Змея Горыныча отрастает 2006 новых голов. Может ли Иван отрубить Змею Горынычу все головы? (Если, например, у Змея Горыныча осталось лишь три головы, то отрубить их не получится.)

7.

В квадрате 7×7 клеток размещено 16 плиток размером 1×3 клетки и одна плитка 1×1. Докажите, что плитка 1×1 либо лежит в центре, либо примыкает к границе квадрата.

Дополнительные задачи

8.

Лёша поставил в клетки таблицы 22×22 натуральные числа от 1 до 22². Верно ли, что Олег может выбрать такие две клетки, соседние по стороне или вершине, что сумма чисел, стоящих в этих клетках, делится на 4?

9.

На доске написано 10 натуральных чисел. Докажите, что из этих чисел можно выбрать несколько чисел и расставить между ними знаки + и − так, чтобы полученное число в результате делилось на 1001.

10.

Найдите последнюю цифру числа \(1^2 + 2^2 + \ldots + 99^2\).