МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 19 (26 марта 2016 года). Остатки

1.

Разочарованный вкладчик фонда „Всё по-честному!” разорвал акцию на 4 части. Не удовлетворившись этим, он разорвал один из кусков ещё на 4, и т. д. Могло ли у него получиться 2016 кусков?

2.

Какой остаток при делении на 11 даёт а) сумма 1 + 2 + ... + 10 ; б) произведение 1·2·...·10 ?

3.

Правда ли, что среди любых ста целых чисел можно найти 15 таких, из которых разность любых двух делится на 7? (Каждое число из ста данных разрешается брать только один раз.)

4.

В магазине было шесть ящиков яблок с массами 15, 16, 18, 19, 20 и 31 килограммов. Две фирмы приобрели пять ящиков, причём одна из них взяла по массе яблок в два раза больше, чем другая. Какой ящик остался в магазине?

5.

Может ли полный квадрат при делении на 4 давать остаток а) 2; б) 3?

6.

а)

Найдите последнюю цифру числа \(1^3+2^3+\ldots + 9^3\).

б)

Найдите две последние цифры числа \(1^3+2^3+\ldots + 99^3\).

Дополнительные задачи

7.

На Луне имеют хождение монеты достоинством в 1, 15 и 50 фертингов. Незнайка отдал за покупку несколько монет и получил сдачу — на одну монету больше. Какова наименьшая возможная цена покупки?

8.

Докажите, что числитель несократимой дроби, равной \[1+ \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\ldots + \dfrac{1}{10},\] делится на 11.

9.

Можно ли переставить цифры числа 123456 так, чтобы полученное число делилось на 11?