МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 14 (13 февраля 2016 года)

1.

Закрасьте некоторые треугольные клетки на рисунке чёрным цветом так, чтобы у каждой белой (незакрашенной) клетки было ровно две чёрные соседки (по стороне), а у каждой чёрной клетки — ровно две белые соседки.

2.

а)

Можно ли разрезать изображённый на рисунке шестиугольник на 11 равных фигур по линиям сетки?

б)

Можно ли разрезать изображённый на рисунке шестиугольник на 23 равные фигуры по линиям сетки?

3.

В правильный шестиугольник площади 54 вписан другой шестиугольник так, как показано на рисунке. Найдите площадь заштрихованного шестиугольника.

4.

а)

Разрежьте фигуру на рисунке на 4 части и сложите из них равносторонний треугольник.

б)

Каждая сторона равностороннего треугольника разделена на три равные части, и некоторые из точек деления соединены с противоположными вершинами треугольника так, как показано на рисунке. Найдите площадь заштрихованной части, если площадь исходного треугольника равна S.

5.

Коля и Макс живут в городе с треугольной сеткой дорог (см. рисунок). В этом городе передвигаются на велосипедах, при этом разрешается поворачивать только налево. Коля поехал в гости к Максу и по дороге сделал ровно 4 поворота налево. На следующий день Макс поехал к Коле и приехал к нему, совершив только один поворот налево. Оказалось, что длины их маршрутов одинаковы. Изобразите, каким образом они могли ехать (дома Коли и Макса отмечены).

Дополнительные задачи

7.

Разрежьте шестиугольник на рисунке на четыре одинаковые части по линиям сетки.

8.

Правильный шестиугольник разбит треугольной сеткой так, что каждая его сторона разделена на n равных отрезков (на рисунке к предыдущей задаче изображён случай n = 2, к этой — случай n = 4). При каких значениях n шестиугольник можно разрезать по линиям сетки на трёхклеточные фигурки ()?

9.

Из четырёх цифр, отличных от нуля, составлены два четырёхзначных числа: самое большое и самое маленькое из возможных. Сумма получившихся чисел оказалась равна 11990. Какие числа могли быть составлены?