МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 12 (12 декабря 2015 года)

1.

Иван-Царевич хочет победить Змея Горыныча, трёхголового и трёххвостого. Баба Яга, подавая Ивану волшебный меч, сказала: „Меч может отрубить за один удар один или два хвоста, либо одну или две головы. Не забывай, срубишь один хвост — вырастет два хвоста. Срубишь два хвоста — вырастет одна голова. Одну голову срубишь — одна голова и вырастет, а срубишь две головы — ничего не вырастет. А погибнет Змей только тогда, когда у него ни голов, ни хвостов не останется”. Как Ивану зарубить Змея?

2.

На рисунке изображён «уголок», составленный из трёх одинаковых квадратов. Как разрезать этот уголок на а) 4; б) 16; в) 64 таких же уголка меньшего размера?

3.

Как составить квадрат из фигурок ?

4.

Как составить квадрат из 100 фигурок ?

5.

Имеется 10 ящиков. В каждом ящике лежит какое-то количество монет. Разрешается выбрать 9 ящиков и добавить в каждый по монете. Докажите, что такими операциями можно уравнять число монет в ящиках.

6.

Представьте число 1 в виде суммы

а)

трёх различных обыкновенных дробей, числители которых равны 1;

б)

пяти различных обыкновенных дробей, числители которых равны 1.

7.

Известно, что в туристическом клубе каждый участник знаком не более чем с пятью другими. Докажите, что можно разделить участников на не более чем шесть групп для похода таким образом, что ни в какую группу не попадут двое знакомых.

Дополнительные задачи

8.

Придумайте 10 различных натуральных чисел, сумма которых делится на каждое из них.

9.

Нарисуйте замкнутую 8-звенную ломаную, которая пересекает каждое своё звено ровно 2 раза.

10.

Планетная система Ух-ты состоит из 9 планет, каждая из которых обитаема. С незапамятных времён все планеты жили дружно. Но после того, как в Ух-ты побывали космические пираты Весельчак и Глот, некоторые планеты разорвали дипломатические отношения. Однако среди любых четырёх планет какие-то две по-прежнему дружат между собой. Системе Ух-ты угрожает вторжение сумчатых бегемотов, противостоять которому могут только объединённые силы трёх планет. Докажите, что сумчатым бегемотам не одолеть систему Ух-ты.