МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 2 (3 октября 2015 года)

1.

У всех глупых марсиан по 3 руки, а некоторые трёхрукие марсиане пьют кефир. Верно ли, что некоторые глупые марсиане пьют кефир?

2.

Трое рыбаков имеют общую лодку, и у каждого есть свой замок и ключ к нему. Как прикрепить лодку к берегу, чтобы каждый из рыбаков мог ей пользоваться (открыв один замок одним ключом)?

3.

У крестьянина были коза, корова, кобыла, стог сена и сын. Сын подсчитал, что сена хватит козе и кобыле на месяц, кобыле и корове на ¹/₃ месяца, а корове и козе — на ³/₄ месяца. Отец похвалил мальчика, сказав, что он не зря учится в школе. Прав ли он?

4.

Открытка стоит целое число копеек. Девять таких открыток стоят меньше десяти рублей, а десять таких же открыток стоят больше одиннадцати рублей. Сколько стоит открытка?

5.

Незнайка лжёт по понедельникам, вторникам и пятницам, а в остальные дни недели говорит правду. В какие дни недели Незнайка может сказать: „Я лгал позавчера и буду лгать послезавтра”?

6.

Художник-авангардист Змий Клеточкин покрасил несколько клеток доски размером 7×7, соблюдая правило: каждая следующая закрашиваемая клетка должна соседствовать по стороне с предыдущей закрашенной клеткой, но не должна соседствовать по стороне ни с одной другой ранее закрашенной клеткой. Ему удалось покрасить 31 клетку. Побейте его рекорд! Закрасьте а) 32 клетки; б) 33 клетки.

Дополнительные задачи

7.

Разложите гири с весами 1, 2, 3, ..., 555 на три кучи, равные по весу.

8.

Имеется много прямоугольников 2×1: обычных и с проведённой диагональю. Надо выбрать 18 прямоугольников и сложить из них квадрат 6×6 так, чтобы концы диагоналей нигде не совпали. Каким наименьшим количеством обычных прямоугольников (без диагонали) можно обойтись?

9.

Прямолинейный прут длиной 2 м разрезали на пять кусков, длиной не менее 17 см каждый. Докажите, что среди этих кусков найдутся три, из которых можно составить треугольник.