МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 1 (26 сентября 2015 года)

1.

В день рождения дяди Фёдора почтальон Печкин хочет выяснить, сколько тому лет. Шарик говорит, что дяде Федору больше 11 лет, а кот Матроскин утверждает, что больше 10 лет. Сколько лет дяде Фёдору, если известно, что ровно один из них ошибся?

2.

Как-то раз, возвратившись вечером домой, семеро богатырей отдали царевне добычу — 29 серых уток. Каждый богатырь застрелил хотя бы одну утку. Все добыли по разному числу уток: чем богатырь был старше, тем больше дичи он застрелил. Какова добыча старшего богатыря?

3.

Найдите сумму всех трёхзначных чисел, в записи которых участвуют цифры 1, 2, 3 по одному разу.

4.

На прямой отмечено 10 точек, а на параллельной ей прямой — 11 точек. Сколько существует а) треугольников; б) четырёхугольников с вершинами в этих точках?

5.

На клетчатой бумаге отмечены четыре узла — вершины квадрата 4×4. Отметьте ещё два узла и соедините их замкнутой ломаной так, чтобы получился шестиугольник площади 6 клеток.

6.

В Мексике экологи добились принятия закона, по которому каждый автомобиль хотя бы один день в неделю не должен ездить (владелец сообщает полиции номер автомобиля и «выходной» день недели этого автомобиля). В некоторой семье все взрослые желают ездить ежедневно (каждый — по своим делам). Сколько (самое меньшее) автомобилей должно быть в семье, если взрослых в ней а) пять? б) восемь?

Дополнительные задачи

7.

На гранях кубика расставлены числа от 1 до 6. Кубик бросили два раза. В первый раз сумма чисел на четырёх боковых гранях оказалась равна 12, во второй — 15. Что написано на грани, противоположной той, где написана цифра 3?

8.

На бесконечной шашечной доске на соседних по диагонали чёрных клетках стоят две чёрные шашки. Можно ли поставить на доску ещё несколько чёрных шашек и одну белую так, чтобы белая одним ходом съела все чёрные?

9.

Придумайте какое-нибудь замощение плоскости равными пятиугольниками.