МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Вступительная работа (добор). 14.11.2015

1.

Высота столба равна 20 м. Улитка решила навестить свою бабушку, которая живёт на вершине столба. За день она проползает по столбу 3 метра, а за ночь сползает на 2 метра. Через сколько дней произойдёт радостная встреча?

Ответ Решение

Ответ. 18 дней.

Решение. Хотя улитка и проползает за полные сутки 3 − 2 = 1 метр, но на 18-й день она доползет до вершины и встретится с бабушкой (сползать обратно она уже не будет).

2.

Найдите все числа, равные удвоенной сумме своих цифр.

Ответ Решение

Ответ. 0 и 18.

Решение.

Заметим, что однозначных чисел, больших нуля, с требуемым свойством нет. Попробуем найти решение среди двузначных чисел. Если первая цифра двузначного числа равна a, а вторая равна b, то само число равно 10a + b. Имеем 10a + b = 2(a + b). Отсюда 8a = b, то есть a = 1, b = 8.

Покажем, что других решений нет: самое маленькое трёхзначное число — 100, а самая большая сумма трёх цифр 9 + 9 + 9 = 27.

3.

Разрежьте изображённую на рисунке фигуру на две одинаковые части.

Решение

Решение. Один из примеров решения:

4.

По шоссе со скоростью 60 км/ч едет колонна машин длиной 300 метров. Проезжая мимо поста ДПС, каждая машина сбрасывает скорость до 40 км/ч. Какова будет длина колонны, когда все машины проедут пост ДПС?

Ответ Решение

Ответ. 200 метров.

Решение. Очевидно, что следить можно только за первой и последней машиной колонны, т. к. именно они определяют её длину. Поэтому задача сводится к следующим действиям:
а) посчитаем время за которое последняя машина доедет до поста ДПС: (не забываем поправить единицы измерения 300 м = 0,3 км) 0,3 км : 60 км/ч = 0,005&nbps;часа;
б) первая машина за время 0,005 часа отъедет от поста на некоторое расстояние, оно и будет искомой длинной колонны: 0,005 часа × 40 км/ч = 0,2 км = 200 м.

5.

Пешеход обошёл шесть улиц одного города, пройдя каждую ровно два раза, но не смог обойти их, пройдя каждую лишь раз. Могло ли это быть?

Ответ

Ответ. Например (проверялся только ответ):