МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 15 (27 февраля 2016 года). Геометрия-2

1.

На клетчатом листе бумаги было закрашено несколько клеток так, что получившаяся фигура не имела осей симметрии. Ваня закрасил ещё одну клетку. Могло ли у получившейся фигуры оказаться четыре оси симметрии?

2.

Сколько квадратов изображено на рисунке?

3.

Закрасьте в квадрате 9×9 несколько клеток так, чтобы из центра квадрата не были видны его стороны. Нельзя закрашивать клетки, соседние по стороне или углу, а также центральную клетку.

4.

На клетчатой бумаге нарисован квадрат со стороной 5 клеток. Его требуется разбить на 5 частей одинаковой площади, проводя отрезки внутри квадрата только по линиям сетки. Может ли оказаться так, что суммарная длина проведенных отрезков не превосходит 16 клеток?

5.

Нарисуйте, как из данных трёх фигурок, использовав каждую ровно один раз, сложить фигуру, имеющую ось симметрии.

6.

Квадрат разбит прямыми на 25 квадратиков-клеток. В некоторых клетках нарисована одна из диагоналей так, что никакие две диагонали не имеют общей точки (даже общего конца). Каково наибольшее возможное число нарисованных диагоналей?

7.

Нарисуйте на клетчатой бумаге треугольник с вершинами в углах клеток, две медианы которого перпендикулярны.

8.

Разрежьте крест, составленный из пяти одинаковых квадратов 3×3, на три многоугольника, равных по площади и периметру (можно использовать любые прямолинейные разрезы).

9.

Каждый узел клетчатой бумаги окрашен в один из трех цветов, причем все три цвета присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных цветов.