МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 4 класса

Руководитель Александра Ефремовна Подгайц
2014/2015 учебный год

Занятие 21 (11 апреля 2015 года). Ищем наилучшее решение

В этих задачах не требуется находить единственный правильный ответ, нужно получить как можно более удачное решение. В задачах 2 и 3 можно в качестве дополнительного задания постараться найти оптимальное решение и доказать, что оно наилучшее.
0.
Используя известные вам математические символы, получите число 2015 с помощью как можно меньшего количества единиц. Другие цифры использовать нельзя.
1.
Выпишите как можно более длинную цепочку из различных двузначных чисел так, чтобы каждое следующее число делилось на сумму цифр предыдущего.
2.
Разрежьте квадрат 7×7 на как можно большее число различных прямоугольников по линиям сетки.

Ответ

Ответ. Наибольшее возможное число прямоугольников — 10.
3.
Придумайте натуральное число, делящееся на 14, с как можно меньшей суммой цифр.

Ответ

Ответ. Наименьшая возможная сумма цифр — 2 (например, у числа 10010).
4.
Используя известные вам математические символы, получите число 2015 с помощью как можно меньшего количества единиц. Другие цифры использовать нельзя.
5.
Расставьте на шахматной доске как можно большее число ладей так, чтобы каждая била нечётное число других.

Замечание Ответ

Замечание. Здесь возможно два понимания: 1 (честное). Ладья бьёт только ближайшую к ней ладью по каждому направлению. 2 (нечестное). Ладья бьёт все ладьи, стоящие на той же горизонтали или вертикали. В этом случае несложно найти оптимальное решение.
Ответ. В нечестном варианте наибольшее возможное число ладей равно 56.
6.
Напишите как можно большее натуральное число, все цифры которого различны и которое делится на каждую из своих цифр. Например, число 132 делится на 1, на 3, на 2. (Цифру 0 использовать нельзя!)
7.
Найдите как можно более длинное число, которое делится на все двузначные числа, образованные его соседними цифрами. Например, число 320 делится на 32 и на 20. В числе не допускаются нули и повторяющиеся двузначные фрагменты. (Говорят, что самое длинное известное такое число состоит более чем из 50 цифр.)
8.
Дана доска 4×4. Разрешается разрезать любую клетку по диагонали (можно сделать два разреза по обеим диагоналям). Сделайте наибольшее число разрезов так, чтобы доска не развалилась на части.