МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 27. Игра (11 мая 2013 года).

Командная игра проходила по следующим правилам. Требуется в письменном виде сдавать полные решения задач. Если жюри признаёт написанный текст полным решением, команда получает 7 баллов. В противном случае с команды снимается 2 балла, а решение возвращается команде на доработку. Число попыток не ограничено.

При проверке жюри не объясняет, в чём заключаются ошибки или недочёты в непринятом решении. Может быть, решение было возвращено команде на доработку всего лишь из-за арифметической ошибки или из-за отсутствия в решении доказательства всего одного перехода, а может быть, из-за того, что решение полностью неверно.

По итогам игры были награждены 5 команд:
„Мы” (Савенков Константин, Щербонос Егор) 38 баллов
„Неопределён” (Фабиянчук Евгений, Залесский Саша) 36 баллов
„Орлы свободы” 29 баллов
„Огненная стрела” (Мелешко Роман, Павлов Сергей, Зыков Игорь) 28 баллов
„Трио” 16 баллов

1.

На доске выписаны цифры 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Вставим между некоторыми из них знаки „ + ” так, чтобы сумма оказалась трёхзначным числом. Какое наибольшее число может получиться?

2.

Игральный кубик бросают трижды. Среди всех возможных последовательностей результатов есть такие, в которых хотя бы один раз встречается шестёрка. Сколько их?

3.

Если каждой девочке дать по одной шоколадке, а каждому мальчику по две, то шоколадок хватит. А если каждому мальчику дать по одной шоколадке, а каждой девочке по две, то их не хватит. А если девочкам не давать шоколадок вообще, то хватит ли каждому мальчику по три шоколадки?

4.

В некоторых ячейках стеклянной коробки 3×3×3 лежит по одной конфете. Алёша, Ваня и Серёжа смотрят на эту коробку с трёх сторон: Алёша — спереди, Ваня — сверху, а Серёжа — сбоку. Сколько конфет может лежать в коробке, если все они видят по 9 конфет?

5.

Сколько есть трёхзначных чисел, у которых сумма двух крайних цифр вдвое больше средней цифры?

6.

В ряд стоит 1000 горящих фонарей — № 1, № 2, № 3,...,№ 1000. Возле первого сидит 1000 лягушек — в очереди — лягушка № 1, лягушка № 2, № 3,..., № 1000. Скоро лягушки по очереди начнут прыгать на фонари. Когда какая-то лягушка прыгает на фонарь, он меняет свое состояние — с горящего на потухший или наоборот. Первая лягушка будет прыгать на все фонари подряд, вторая — на 2, 4, 6, и т.д., т.е. только на чётные фонари, третья лягушка — на 3, 6, 9,..., и т.д., — каждая лягушка будет прыгать на те фонари, номер которых делится на ее номер. Итак, вначале все фонари горят, потом первая лягушка, прыгая на них подряд, все гасит, вторая, прыгая по чётным, их зажигает, и т.д. Какие фонари в конце будут потухшими, а какие будут гореть?

7.

В 25 коробках лежат шарики нескольких цветов. Известно, что при любом k (1 ≤ k ≤ 25) в любых k коробках лежат шарики ровно k + 1 различных цветов. Обязательно ли найдётся такой цвет, что шарики этого цвета лежат во всех коробках?

8.

Отметили центр каждого из квадратиков прямоугольника 3×2013. Сколько существует прямых, которые проходят ровно через три отмеченные точки?

9.

Четыре подружки поделили между собой 1001 конфету, при этом каждой девочке досталось конфет или столько же, сколько какой-то из её подружек, или ровно в два раза меньше, чем одной из них. Как могли распределиться конфеты?

10.

Каким наименьшим количеством одинаковых картонных клетчатых фигур, изображённых на рисунке, можно полностью покрыть квадрат 6×6 клеток? Фигуры могут пересекаться и вылезать за пределы квадрата, их можно поворачивать и переворачивать.

11.

Квадратный лист бумаги разрезали на шесть кусков в форме выпуклых многоугольников; пять кусков затерялись, остался один кусок в форме правильного восьмиугольника. Можно ли по одному этому восьмиугольнику восстановить исходный квадрат?

12.

От каждой стороны квадрата осталось по одной точке. Восстановите квадрат.

13.

Даны два натуральных числа a и b. На какое наименьшее число прямоугольников можно разбить квадрат так, чтобы любая вертикальная прямая, пересекающая квадрат, либо содержала сторону какого-то из прямоугольников (или стороны нескольких прямоугольников), либо пересекала ровно a прямоугольников и, аналогично, каждая горизонтальная прямая либо пересекает ровно b прямоугольников, либо содержит сторону какого-то прямоугольника?