МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 13 (8 декабря 2012 года)

1.

Найдите наименьшее трёхзначное число, равное сумме квадратов двух натуральных чисел.

2.

Легко расположить на столе пять одинаковых монет, как показано на рисунке слева. Заберём одну монету (заштрихованную), а остальные смешаем. Не используя ничего, кроме этих четырёх монет, расположите их так, как показано на рисунке справа.

3.

Незнайка очень гордится тем, что научился покрывать уголками из трёх клеток доску 4×4 с одной вырезанной клеткой, где бы она ни была.

а)

Помогите Незнайке решить такую же задачу для доски 8×8.

б)

Докажите, что при каждом натуральном n доску 2ⁿ×2ⁿ с одной вырезанной где угодно клеткой можно покрыть уголками из трёх клеток.

4.

Яблоко, плавающее на поверхности воды, одновременно начинают кушать: над водой — подлетевшая птичка и под водой — подплывшая рыбка. При этом оставшаяся часть яблока всегда остаётся на две трети в воде. Кому достанется какая часть яблока, если птичка его кушает в полтора раза быстрее рыбки?

5.

Незнайка обнаружил интересную арифметическую закономерность: \[1^3+2^3=(1+2)^2, \quad 1^3+2^3+3^3=(1+2+3)^2, \quad 1^3+2^3+3^3+4^3=(1+2+3+4)^2.\] Но уже для пяти слагаемых он поленился считать (наконец-то!) и решил воспользоваться уже проверенными равенствами, но у него не получилось.

а)

Приняв на веру вычисления Незнайки, помогите ему с пятью слагаемыми. (Непосредственный подсчёт ему не интересен.)

б)

Обобщается ли закономерность на произвольное число слагаемых?

Дополнительные задачи

6.

Изобразите множество середин всех отрезков, концы которых лежат на данной полуокружности.

7.

Докажите, что для любого натурального n существует n-значное число, кратное 2ⁿ, составленное из единиц и двоек (например, 112 кратно 2³, 2112 кратно 2⁴).