МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 1 (15 сентября 2012 года)

1.

Верно ли, что если все грани многогранника — одинаковые квадраты, то это куб?

2.

Про числа \(a\) и \(b\) известно, что \(a = b+1\). Может ли оказаться так, что \(a^4 = b^4\)?

3.

Петя и Миша играют в такую игру. Петя берет в каждую руку по монетке: в одну 10 копеек, а в другую — 15. После этого содержимое левой руки он умножает на 4, 10, 12 или 26, а содержимое правой руки — на 7, 13, 21 или 35. Затем Петя складывает эти два числа и называет Мише результат. Сможет ли Миша определить, в какой руке у Пети находится десятикопеечная монета?

4.

Имеется 9 одинаковых с виду монет. Какая-то из монет фальшивая, она легче настоящей. Одна монета (неизвестно — фальшивая или настоящая) прилипла к одной из чаш чашечных весов без гирь. Отдирать её некогда. Как за два взвешивания найти фальшивую монету?

5.

Радиоуправляемая игрушка выезжает из некоторой точки. Она движется по прямой, а по команде может поворачивать налево ровно на 17° (относительно прежнего направления движения). Какое наименьшее число команд необходимо, чтобы игрушка вновь прошла через точку старта?

6.

На чаепитие собрались 25 ребят. Каждый принёс по 2 пирожных. Все пирожные разложили на 25 тарелок (по 2 на тарелку). Докажите, что, как бы ни были размещены пирожные, можно так раздать тарелки ребятам, что каждому достанется хотя бы одно пирожное, которое он сам принёс.

Дополнительные задачи

7.

В каждой из n стран правит либо партия правых, либо партия левых. Каждый год в одной из стран может поменяться власть. Это может произойти в том случае, если в большинстве граничащих с этой страной стран правит не та партия, которая правит в этой стране. Докажите, что смены правительств не могут продолжаться бесконечно.

8.

Существует ли такой многогранник и точка вне него, что из этой точки не видно ни одной из его вершин?