МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 6 (20 октября 2012 года)

1.

Первый вторник месяца Митя провёл в Смоленске, а первый вторник после первого понедельника — в Вологде. В следующем месяце Митя первый вторник провёл во Пскове, а первый вторник после первого понедельника — во Владимире. Можно ли определить, какого числа и какого месяца Митя был в каждом из~городов?

2.

По кругу записаны 7 натуральных чисел. Известно, что в каждой паре соседних чисел одно делится на другое. Докажите, что найдётся пара и не соседних чисел с таким же свойством.

3.

В комнате стоят трёхногие табуретки и четырёхногие стулья. Когда на все эти сидячие места уселись люди, в комнате оказалось 39 ног. Сколько в комнате табуреток?

4.

Про семь натуральных чисел известно, что сумма любых шести из них делится на 5.

а)

Незнайка утверждает, что одно из чисел равно 5. Докажите, что каждое из остальных делится на 5.

б)

Незнайка признался, что на самом деле совсем не знает, есть ли среди этих чисел число 5 или нет. Докажите, что всё равно каждое из этих чисел делится на 5.

5.

Трое играют в настольный теннис, причём игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что первый игрок сыграл 10 партий, второй — 21. Сколько партий сыграл третий игрок?

6.

Стёпа играл в солдатиков. Сначала он попытался построить их парами, но один солдатик оказался лишним. Тогда Стёпа стал строить солдат тройками, но снова один остался. Та же история повторялась и при построениях по 4, по 5 и по 6. Стёпа уже приготовился выбрасывать непослушного, но тут ему наконец удалось построить всех в колонну по 7.

а)

Сколько солдат могло быть у Стёпы, если их было меньше 500?

б)

А если солдатиков было меньше 5000?

Дополнительные задачи

7.

Можно ли во всех точках плоскости с целыми координатами записать некоторые натуральные числа (можно использовать не все числа) так, чтобы три точки с целыми координатами лежали на одной прямой тогда и только тогда, когда записанные в них числа имели общий делитель, больший единицы?

8.

В ряд стоят 15 слонов, каждый из которых весит целое число килограммов. Если взять любого слона, кроме стоящего справа, и прибавить к его весу удвоенный вес его правого соседа, то получится 15 тонн (для каждого из 14 слонов). Найдите вес каждого из 15 слонов.