МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 7 (27 октября 2012 года)

1.

а)

Нарисуйте на клетчатой бумаге со стороной клетки 1 три различных треугольника площади 1⁄2 с вершинами в узлах сетки.

б)

Может ли периметр такого треугольника быть больше 10?

в)*

Может ли каждая из его сторон быть больше 10?

2.

В сериале «Тайна Санта-Барбары» 20 героев. В каждой серии происходит одно из трёх событий: кто-то узнаёт Тайну, кто-то узнаёт про кого-то, что тот знает Тайну, кто-то узнаёт про кого-то, что тот не знает Тайну. Какое наибольшее число серий может продолжаться сериал? (Тайна в сериале одна и каждое событие происходит лишь однажды.)

3.

Учитель предложил школьникам Саше и Паше отгадать задуманные им два различных натуральных числа. Он дал им по карточке, которые они не показывали друг другу, и объяснил: „Саше на карточке я написал сумму загаданных чисел, а Паше — их произведение.”
Саша: „Я не могу однозначно сказать, какие числа Вы загадали”.
Паша: „Я тоже не могу”.
Саша: „А теперь я точно знаю, какие это числа!”
Паша: „Теперь и я знаю!”
Приведите пример пары чисел, которые мог загадать учитель.

4.

На окружности отмечено n точек. Оказалось, что число отрезков, соединяющих эти точки, равно числу треугольников с вершинами в этих точках. Сколько точек могло быть отмечено?

5.

На какое самое большое натуральное число делится произведение любых а) трёх; б) семи; в)* n подряд идущих натуральных чисел?

Дополнительные задачи

6.

Докажите, что площадь закрашенного четырёхугольника на рисунке составляет одну треть от площади всего четырёхугольника.

7.

Имеются 300 яблок, любые два из которых отличаются по весу не более, чем втрое. Докажите, что их можно разложить в пакеты по четыре яблока так, чтобы любые два пакета различались по весу не более, чем в полтора раза.