МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 9 (10 ноября 2012 года)

1.

Вся семья выпила по полной чашке кофе с молоком, причём Катя выпила четверть всего молока и шестую часть всего кофе. Сколько человек в семье?

2.

Квадрат со стороной 8 разрезали на 4 части (см. рисунок слева) и сложили из них прямоугольник 5×13 (на рисунке справа). Но 5·13 = 65, а 8·8 = 64. Откуда взялась лишняя клетка?

3.

На плоскости отмечены точки с координатами (0,0), (0,1), (0,2), (1, − 1),~(2, − 3). Найдите площади всех треугольников с вершинами в этих точках.

4.

Встретились несколько друзей. Каждый из них обменялся рукопожатием с каждым, кроме Федота Бурчеева, который, будучи не в духе, некоторым пожал руку, а некоторым — нет. Всего было сделано 197 рукопожатий. Сколько рукопожатий сделал Федот?

5.

На доске было написано 5 чисел. Сложив их попарно, получили следующие 10 чисел: 0, 2, 4, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 15. Какие числа были написаны?

Дополнительные задачи

6.

Может ли площадь треугольника с вершинами в узлах сетки быть меньше половины клетки?

7.

В 99 ящиках лежат яблоки и апельсины. Докажите, что можно так выбрать 50 ящиков, что в них окажется не менее половины всех яблок и не менее половины всех апельсинов.

8.

Управдом Остап Бендер собирал с жильцов деньги на установку новых квартирных номеров. Адам Козлевич из 105-й квартиры поинтересовался, почему во втором подъезде надо собрать денег на 40% больше, чем в первом, хотя квартир там и тут поровну. Не растерявшись, Остап объяснил, что за двузначные номера приходится платить вдвое, а за трёхзначные — втрое больше, чем за однозначные. Сколько квартир в подъезде?