МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 19 (9 марта 2013 года)

1.

На олимпиаде предлагалось 100 задач. Все школьники решили разное количество задач. Все задачи решены разным количеством школьников. Докажите, что один из школьников решил ровно одну задачу.

2.

Можно ли все натуральные числа от 1 до 100 выписать в строчку так, чтобы разность любых двух соседних (из большего вычитается меньшее) была не меньше 50?

3.

Путешественник отправился из своего родного города A в самый удалённый от него город страны B; затем из B — в самый удалённый от него город C, и т.д. Оказалось, что C и A — разные города. Можно ли надеяться, что путешественник когда-то вернётся домой?

4.

По кругу написаны все целые числа от 1 по 1000 в таком порядке, что при движении по часовой стрелке числа поочередно то возрастают, то убывают.

а)

Приведите пример такой расстановки.

б)

Докажите, что в любой такой расстановке разность каких-то двух чисел, стоящих рядом, чётна.

5.

В клетках доски 10×10 записаны числа от 0 до 99 так, как показано на рисунке. На доску поставили 10 не бьющих друг друга ладей. Чему может быть равна сумма чисел в клетках, занятых ладьями?

6.

После завершения волейбольного турнира по круговой системе (каждая команда играет с каждой) оказалось, что никакая команда не проиграла всех встреч. Докажите, что найдутся команды A, B и C такие, что A выиграла у B, B выиграла у C, а C — у A.

Дополнительные задачи

7.

Верно ли, что для любой комбинации цифр найдётся число, квадрат которого начинается с этой комбинации цифр?

8.

В клетках таблицы m×n записаны некоторые числа. Разрешается одновременно менять знак у всех чисел одного столбца или одной строки. Докажите, что несколькими такими операциями можно добиться того, чтобы суммы чисел в каждой строке и в каждом столбце были неотрицательными.