МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Занятие 4 (16.10.2010). Затруднительные ситуации

1.

В двух кошельках всего лежит два рубля. При этом в одном кошельке денег в два раза больше, чем в другом. Как такое может быть?

Решение

Решение. В каждом из кошельков лежит по монете 1 руб., и один из кошельков лежит внутри другого.

2.

Замок окружён рвом, имеющим форму прямоугольной рамки. Ширина рва всюду одинакова. Есть две доски, длины которых равны ширине рва. Можно ли переправиться через ров?

Решение

Решение. Первую доску нужно положить "на угол" внешнего прямоугольника, а вторую так, чтобы её первый конец лежал на первой доске, а второй на углу внутреннего прямоугольника.

3.

Можно ли погрузить на три грузовика семь бочек с квасом, семь пустых бочек и семь бочек, заполненных наполовину, чтобы на каждом грузовике было по семь бочек и поровну кваса?

Решение

Решение. Можно. Приведём пример. Пусть 1 — полная бочка, ½ — бочка, заполненная наполовину, 0 — пустая.\\

I:	1	1	1	½	0	0	0
II:	1	1	1	½	0	0	0
III:	1	½	½	½	½	½	0

4.

Два поезда движутся навстречу друг другу по одной железнодорожной ветке. От неё отходит тупик, длина которого меньше длины поезда, но больше длины одного вагона. Как поездам разминуться?

Решение

Решение. Перегоним поезда так, чтобы оба они оказались слева от тупика. От крайнего (правого) поезда отцепим последний вагон и загоним его в тупик. Потом перегоним поезда так, чтобы они оба оказались справа из тупика. Вагон из тупика вытащим и прицепим в конец левого поезда. Проделаем эту операцию несколько раз. В итоге весь поезд, который был раньше справа, окажется полностью слева от другого поезда (который был слева). Расцепим поезда, и они смогут ехать дальше.

5.

Три котёнка и три щенка съели двадцать сосисок. Рыжий котёнок съел больше всех, а серый — не меньше всех. Может ли так быть, что щенки съели не меньше сосисок, чем котята?

Решение

Решение. Могло. Пусть первый котёнок будет рыжым, а второй серым.
Котята: 5, 2, 1;
Щенки: 4, 4, 4.

6.

Можно ли пять бумажных колец склеить так, чтобы при разрезании только одного звена получалось пять отдельных звеньев?

Решение

Решение. Можно.
К одному из колец прицепляем четыре остальных кольца. При его разрезании получится пять отдельных частей.

7.

В баке не менее десяти литров воды. Можно ли набрать шесть литров с помощью 9-литрового ведра и 5-литрового бидона?

Решение

Решение. Можно.

ведро (9 л)	бидон (5 л)
		набираем воду в ведро
9		переливаем из ведра в бидон
4	5	выливаем из бидона
4	0	переливаем из ведра в бидон
0	4	набираем в ведро
9	4	доливаем из ведра в бидон
8	5	выливаем из бидона
8	0	переливаем из ведра в бидон
3	5

8.

Крестьянину нужно переправить через реку волка, козу и капусту. Но лодка такова, что в ней может поместиться только крестьянин, а с ним или только волк, или только коза, или только капуста. Но если оставить волка с козой без крестьянина, то волк съест козу, если оставить козу с капустой, то коза съест капусту. Как быть?

Решение

Решение.

Крестьянин, Капуста, Коза, Волк
Капуста, Волк		Крестьянин, Коза
Крестьянин, Капуста, Волк		Коза
Волк		Крестьянин, Капуста, Коза
Крестьянин, Коза, Волк		Капуста
Коза		Крестьянин, Капуста, Волк
Крестьянин, Коза		Капуста, Волк
		Крестьянин, Капуста, Коза, Волк

Дополнительные задачи

9.

На этот раз в лодке три места, поэтому можно с собой брать не более двух животных или одно животное и капусту. Как перевезти в лодке с одного берега на другой двух волков, козу, капусту и собаку, если известно, что волка нельзя оставлять без присмотра ни с козой, ни с собакой, собака "в ссоре" с козой, а коза "неравнодушна" к капусте?

Решение

Решение.

Крес., Капуста, Коза, Собака, Волк, Волк
Капуста, Волк, Волк		Крес., Коза, Собака
Крес., Капуста, Коза, Волк, Волк		Собака
Волк, Волк		Крес., Капуста, Коза, Собака
Крес., Коза, Волк, Волк		Капуста, Собака
Коза		Крес., Капуста, Собака, Волк, Волк
Крес., Коза, Собака		Капуста, Волк, Волк
		Крес., Капуста, Коза, Собака, Волк, Волк

10.

Летят вороны, видят — дубы. Стали рассаживаться. Попробовали по одной на дуб — четырем воронам не хватило места. Стали садиться по две на дуб — три дуба остались свободными. Сколько было ворон и сколько дубов?

Решение Ответ

Решение. Сначала вороны сидели по одной на каждом дубе, и четырём воронам места не хватило:

в	...	в	в	в	в	в
д	...	д

Посадим этих четырёх ворон вторыми на уже занятые дубы:

в	в	в	в
в	в	в	в	в	...	в
д	д	д	д	д	...	д

Остались дубы, на которых сидит по одной вороне. Посадим их по две. Тогда половина из этих дубов освободится. По условию их 3. Значит, до этого дубов было 3·2 = 6. Тогда всего дубов 6 + 4 = 10 (нужно добавить дубы, на которых уже сидит по две вороны). Ворон на 4 больше, чем дубов, т.е. их 10 + 4 = 14.

Ответ. 14 ворон, 10 дубов.