МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Занятие 2 (02.10.2010). Чётность

0.

Что такое чётные и что такое нечётные числа? Каким является число 0: чётным или нечётным?

Решение

Решение. Чётным называется число, которое делится на 2 (нацело). Нечётным — число, которое не делится на 2.
0 — чётное число, т.к. 0:2=0.

1.

Можно ли разменять 25 лир десятью монетами в 1, 3 и 5 лир?

Решение

Решение. Нет, так как сумма чётного количества (в данном случае 10) нечётных слагаемых будет чётным число. Но 25 — нечётное число.

2.

Существуют ли два натуральных числа, сумма и произведение которых нечётны?

Решение

Решение. Нет, не существуют.
Если бы такие числа существовали, то для того, чтобы их произведение было нечётным, нужно, чтобы они оба были нечётными. Но тогда их сумма будет чётной. Противоречие.

3.

Хулиган Гоша порвал школьную стенгазету на 3 части. После этого он взял один из кусков и тоже порвал на 3 части. Потом опять один из кусков порвал на 3 части и т.д. Могло ли у него в итоге получиться 100 частей?

Решение

Решение. Нет, не могло. Если любой кусок стенгазеты разорвать на 3 части, то общее число кусков увеличится на 2. Значит, общее количество частей всегда будет нечётным. Но 100 — чётное число.

4.

Обозначим буквой Ч чётные числа, а буквой Н — нечётные. Заполните пропуски так, чтобы получились верные соотношения:

Ч + Ч = ◯	Ч · Ч = ◯
Ч + Н = ◯	Ч · Н = ◯
Н + Ч = ◯	Н · Ч = ◯
Н + Н = ◯	Н · Н = ◯

Ответ

Ответ.

Ч + Ч = Ч	Ч · Ч = Ч
Ч + Н = Н	Ч · Н = Ч
Н + Ч = Н	Н · Ч = Ч
Н + Н = Ч	Н · Н = Н

5.

На шахматной доске на одной из клеток стоял конь. Он сделал несколько ходов и вернулся в ту же клетку. Четное или нечетное число ходов он сделал?

Решение Ответ

Решение. После каждого хода коня меняется цвет клетки, на которой он стоит (Т.е. с чёрной клетки он переходит на белую, с белой — на чёрную.) В итоге конь вернулся на ту же клетку, на которой он был изначально (т.е. на клетку того же цвета). Значит, он сделал чётное число ходов.

Ответ. Чётное.

6.

В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли между ними расставить знаки "+" и "−" так, чтобы получился 0?

Решение

Решение. Нельзя, так как среди чисел от 1 до 10 нечётное количество нечётных.

7.

Парламент состоит из двух равных по численности палат. На совместном заседании, связанном с принятием важного решения, присутствовали все представители обеих палат. Из-за важности вопроса при голосовании никто не воздержался. После подведения итогов было объявлено, что решение принято большинством в 25 голосов. Оппозиция закричала: "Это обман!" Как это удалось определить?

Решение

Решение. Посмотрим на общее количество депутатов в обеих палатах. Оно чётно, так как весь парламент состоит из двух одинаковых по численности палат.
Обозначим количество депутатов, голосовавших против, за x. Тогда тех, кто голосовал за, было x + 25. Общее число депутатов тогда должно быть равно 2x + 25 — нечётному числу. Но мы знаем, что оно чётно. Значит, голоса были посчитаны неправильно.

8.

На этот раз хулиган Гоша исправил две цифры в примере на умножение. Получилось 4·5·4·5·4=2247. Помогите учительнице Марье Петровне восстановить исходный пример. (Определите, какие цифры на что были исправлены, и объясните, почему по-другому это сделать было нельзя.)

Решение Ответ

Решение. Наличие любого из трёх множителей 4 в левой части равенства приводит к тому, что в правой части должно стоять чётное число, которое оканчиваться на нечётную цифру 7 не может. Так как все три этих множителя мы изменить не можем, значит, чтобы получить изначальное равенство, точно нужно поменять цифру 7.
Кроме этого, остаётся поменять ещё только одну цифру. В левой части равенства есть два множителя 5. Наличие любого из них означает, что число в правой части оканчивается на 5 или на 0. Так как хотя бы одна из этих пятёрок точно была изначально, то получается, что на месте 7 было 5 или 0. Слева точно были четвёрки (так как их целых три), поэтому последняя цифра правого числа точно была чётной, т.е. 0.
Осталось определить ещё одну изменённую цифру. Если ничего не менять слева, то значит, справа должно быть 4·5·4·5·4=1600. Но 1600 из 2240 заменой одной цифры не получается. Значит, второе изменение точно было слева, а справа точно было 2240.
2240 содержит только один простой множитель 5. Значит, точно одну из пятёрок слева нужно заменить на другую цифру так, чтобы произведение было равно 2240. Эта цифра 2240:4:4:4:5=7. Т.е. одну из пятёрок надо заменить на 7.

Ответ. 4·7·4·5·4=2240 или 4·5·4·7·4=2240.

Дополнительные задачи

9.

На чудо-дереве росли 30 апельсинов и 25 бананов. Каждый день садовник снимал ровно два фрукта. Причем, если он снимал одинаковые фрукты, то на дереве появлялся новый банан, а если разные — новый апельсин. В конце концов, на дереве остался один фрукт. Какой: банан или апельсин?

Решение Ответ

Решение. После того, как садовник снимает два фрукта, возможны три ситуации:
— сняли два апельсина. Тогда число апельсинов уменьшилось на 2, а число бананов увеличилось на 1.
— сняли два банана. Тогда число апельсинов не изменилось, а число бананов уменьшилось на 1.
— сняли один апельсин и один банан. Тогда число апельсинов не изменилось (один сорвали, один вырос), а число бананов уменьшилось на 1.
Получается, что число апельсинов всегда либо не изменяется, либо уменьшается на 2. Изначально апельсинов было 30 — чётное число. Так как чётность их количества никогда не меняется, то остаться 1 апельсин не может, так как 1 — нечётное число. Значит, остался банан.

Ответ. Банан.

10.

Квадрат размером 6×6 покрыт без наложений костями домино размером 1×2. Докажите, что можно разрезать квадрат, не повредив ни одной доминошки.

Решение

Решение. Покажем, что любая прямая, проходящая по линиям клеток, разрезает чётное количество доминошек. С каждой из двух сторон относительно любой такой прямой будет чётное число клеток (так как каждая из двух частей, на которые оказалась разрезана доска, состоит из нескольких строк или столбцов по 6 клеток). Но если оказалось, что прямая разрезала нечётное число доминошек, то каждая из этих частей должна состоять из нескольких доминошек по 2 клетки и нечётного количества половинок доминошек по 1 клетке. Т.е. в этом случае такие части должны состоять из нечётного количества клеток. Противоречие.
Предположим теперь, что любая из 10 прямых (5 вертикальных, 5 горизонтальных) разрезает хотя бы одну доминошку. Так как 1 — нечётное число, то каждой прямой должно быть пересечено хотя бы 2 доминошки. При этом каждая доминошка может быть пересечена не более, чем одной прямой. Значит, всего доминошек должно быть не меньше, чем 10·2=20. Но их только 36:2=18. Противоречие. Значит, есть прямая, которая не пересекает ни одной доминошки. По ней и нужно разрезать доску.