МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Занятие 19 (19.03.2011). Про время

1.

В 4 часа дня с первого до последнего удара часов прошло 6 секунд. Сколько времени пройдет с первого до последнего удара в полдень?

Ответ Решение

Ответ. 22 секунды.

Решение. В 4 часа дня часы пробили четыре раза. Значит, между любыми двумя ударами проходит ⁶/₃ = 2 секунды. (Между 4 ударами часов есть 3 промежутка.) Тогда в 12 часов между первым и последним ударом есть 11 промежутков по 2 секунды, а значит, между ними пройдет 22 секунды.

2.

На часах, которые ходят точно, оторвались все цифры. Остались только деления без подписей. Как узнать, куда нужно вернуть каждую цифру? (Других часов у вас нет.)

Решение

Решение. За 12 часов маленькая стрелка проходит полный круг. За это время она несколько раз совпадает с минутной. Но только один раз это происходит, когда и минутная, и часовая стрелки показывают на одно и то же деление. Это происходит в 12 часов. Таким образом, можно узнать какое из отмеченных делений соответствует 12. Остальные цифры нужно прикреплять последовательно по ходу часовой стрелки.

3.

Катя на выполнение домашнего задания тратит на 10% больше времени, чем Лена. А Маша тратит на 10% меньше времени, чем Катя. Кто из девочек быстрее всего делает домашнее задание?

Ответ Решение

Ответ. Маша.

Решение. Заметим, что т.к. Катино время больше, чем Ленино, то и 10% от Катиного больше 10% от Лениного. Значит, Маша тратит времени меньше Лены. Значит, она тратит меньше всего.

4.

Водитель дальнобойного грузовика взглянул на приборы своей машины и увидел, что спидометр показывает 25952. «Какое красивое число я проехал. Наверное, не скоро выпадет следующее красивое число», — подумал он. Однако через час двадцать минут на спидометре высветилось следующее красивое число. С какой скоростью ехал грузовик?

Ответ Решение

Ответ. 82,5 км/ч.

Решение. Красивых пятизначных чисел, начинающихся на 25 больше нет. Т.е. следующее число начинается на 26(такое хотя бы одно есть, например, 26062). Заметим, что задав первые две цифры красивого числа, мы задали и две последние: 26X62. Осталось выбрать минимально возможную третью цифру — это 0. Значит, за час двадцать минут он проехал 26062 − 25952=110 км. Значит, его скорость равна

110

4/3

= 82,5 км/ч.

5.

Есть двое песочных часов: на 5 минут и на 8 минут. Как можно с них помощью засечь 7 минут?

Решение

Решение. Одновременно переворачиваем и те, и другие часы. Когда в 5-минутных часах песок полностью окажется в нижней части, перевернем их еще раз. Через 3 минуты песок полностью будет в нижней части в 8-минутных часах. В этот момент начинаем отмерять 7 минут. Через две минуты весь песок будет внизу в 5-минутных часах. Переворачиваем их, и когда он пересыпется еще раз, пройдет ровно 2 + 5 = 7 минут с того момента, как мы стали засекать время.

6.

Разрежьте (если это возможно) циферблат на две части так, чтобы

а)

сумма чисел в каждой части была одинаковой;

Ответ

Ответ.

б)

сумма цифр в каждой части была одинаковой.

Решение

Решение. Так разрезать невозможно. Если бы так разрезать удалось, то суммы цифр в каждой из частей были бы равны, а, значит, сумма всех цифр была бы четной. Убедимся, что это не так: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + (1 + 0) + (1 + 1) + (1 + 2) = 45 + 1 + 2 + 3 = 51 — нечетное число.

7.

Сколько раз в сутки стрелки часов образуют прямой угол?

Ответ Решение

Ответ. 44.

Решение. В сутки часовая стрелка делает 2 оборота, а минутная — 24. Т.к. минутная стрелка обгоняет часовую 22 раза и каждый раз с часовой стрелкой образует по два прямых угла, то ответ — 44.

8.

Петин будильник испорчен: он спешит на 4 минуты в час. В 7 часов вечера Петя установил на нем точное время и поставил звонок на 7 часов утра. Во сколько Петя проснется?

Ответ Решение

Ответ. В 6 часов 15 минут.

Решение. Пусть у нас есть правильные часы и такие же часы, как у Пети. Будем отмерять время и по тем, и по другим. Если с 7 часов вечера до того момента, когда зазвенел будильник, пройдет x часов (или 60x минут), если отмерять по правильным часам, то по Петиным часам пройдет 64x минут. Так как будильник зазвенит, когда Петины часы будут показывать 7 часов утра, то по этим часам с 7 вечера прошло 12·60=720 минут. То есть, 64x=720. Тогда x = ⁷²⁰/₆₄ = ⁴⁵/₄. Значит, от 7 часов вечера до того момента, когда зазвенит будильник, пройдет ⁴⁵/₄ часа или 11 часов 15 минут. Легко посчитать, что будильник зазвенит в 6 часов 15 минут.