МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Занятие 10 (27.11.2010). Переливания

0.

Есть два ведра: одно ёмкостью 4 л, другое — 9 л. Можно ли только с их помощью набрать из реки ровно 6 л воды?

Решение

Решение. Можно.

ведро 4 л	ведро 9л
	9
4	5
0	5
4	1
0	1
1	0
1	9
4	6

1.

а)

Можно ли, имея две банки ёмкостью 3 л и 5 л, набрать из водопроводного крана 4 л воды?

б)

Тот же вопрос, если есть только банки ёмкостью 6 л и 9 л?

Решение

Решение. а) Можно.

банка 3 л	банка 5 л
	5
3	2
0	2
2	0
2	5
3	4

б) Нельзя.
Так как и 6, и 9 делятся на 3, то после любого количества переливаний объём воды (в литрах) в каждой из банок будет делиться на 3. Но 1 на 3 не делится.

2.

Отлейте из цистерны 13 л воды, пользуясь бидонами в 5 л и 17 л.

Решение

Решение.

бидон 5 л	бидон 17 л
5
0	5
5	5
0	10
5	10
0	15
5	15
3	17
3	0
0	3
5	3
0	8
5	8
0	13

3.

Можно ли набрать из реки 8 л воды с помощью двух ведёр, вместимостью 15 л и 16 л?

Решение

Решение. Можно.

ведро 15 л	ведро 16 л
15
0	15
15	15
14	16
14	0
0	14
15	14
13	16
13	0
0	13
15	13
12	16

и т. д.

4.

Есть три кастрюли: 8 л — с компотом, 3 л и 5 л — пустые. Как разделить компот пополам? (Компот, в отличие от воды, выливать нельзя.)

Решение

Решение.

кастрюля 8 л	кастрюля 3 л	кастрюля 5 л
8	0	0
5	3	0
5	0	3
2	3	3
2	1	5
7	1	0
7	0	1
4	3	1
4	0	4

5.

Можно ли разлить 50 л бензина по трём бакам так, чтобы в первом баке было на 10 литров больше, чем во втором, а во втором на 21 литр больше, чем в третьем?

Решение

Решение. Нельзя.
Если бы это было возможно, то во втором баке должно было бы быть не меньше 21 л бензина (так как иначе в нём не могло бы быть на 21 литр больше, чем в третьем). Значит, в первом баке должно быть не меньше 31 л, так как в нём на 10 литров больше, чем во втором. Но тогда только в первом и втором должно быть не меньше 21 + 31 = 52 литра. Противоречие.

6.

(Пересыпания.) Есть двое песочных часов: на 7 мин и на 11 мин. Каша варится 15 мин. Как с помощью этих часов отмерить нужное время?

Решение

Решение. Переворачиваем и те, и другие часы. Когда песок из 7-минутных часов высыпется, переворачиваем их опять. Ещё через 4 минуты закончится песок в 11-минутных часах. В этот момент надо перевернуть 7-минутные часы. Когда песок в них высыпется обратно, пройдёт ровно 15 минут.

7.

Есть две одинаковые чашки: одна с кофе, другая с молоком. Из первой чашки во вторую перелили ложку кофе. Затем ложку получившейся смеси перелили обратно из второй чашки в первую. Чего больше: молока в кофе или кофе в молоке?

Решение Ответ

Решение. Пусть объём чашки в k раз больше, чем объём ложки (имеется в виду объём жидкости, который в них наливают). После первого переливания во второй чашке оказалась одна ложка кофе. В полученной смеси молока в k раз больше, чем кофе. Когда мы зачерпнём ложку этой смеси, чтобы перелить в первую чашку, отношение молока и кофе в ней будет таким же. И это всё перельётся в первую чашку. То есть, перельётся

1

k+1

ложки кофе и

k

k+1

ложки молока. Таким образом, в первой чашке окажется

k

k+1

ложки молока, а во второй чашке останется

k

k+1

ложки кофе.

Ответ. Одинаково.

8.

Есть три сосуда 3 л, 4 л и 5 л, кран с водой и 3 л сиропа в самом маленьком сосуде. Можно ли с помощью переливаний получить 6 л смеси воды с сиропом так, чтобы в каждом сосуде воды и сиропа было поровну?

Решение

Решение. Можно.

сосуд 3 л	сосуд 4 л	сосуд 5 л
3c
	3c
	3с	5в
3в	3с	2в
	3с	2в
3с		2в
3с	2в
1с	2в+2с
	2в+2с	1с
1,5в+1,5с	0,5в+0,5с	1с
	0,5в+0,5с	1,5в+2,5с
	0,5в+0,5с	2,5в+2,5с

Дополнительные задачи

9.

Бассейн наполняется водой с помощью двух труб. Первая труба наполняет бассейн за 10 часов, а вторая — за 15. За сколько наполнится бассейн, если включить обе трубы?

10.

В бочке не менее 13 вёдер бензина. Можно ли отлить 8 вёдер с помощью 9-ведёрной и 5-ведёрной бочек?