МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Руководитель Дмитрий Александрович Коробицын
2010/2011 учебный год

Занятие 17 (05.03.2011). Разрезания – 2

1.
Разрежьте нарисованную фигуру на две одинаковые (совпадающие при наложении) части.

Решение

2.
На глобусе проведены 17 параллелей и 24 меридиана. На сколько частей разделена поверхность глобуса? Меридиан — это дуга, соединяющая Северный полюс с Южным. Параллель — окружность, параллельная экватору (экватор тоже является параллелью).

Ответ Решение

Решение. Сначала проведем только меридианы. Область между двумя соседними меридианами назовем долькой. Пока глобус разбит на 24 дольки. 17 параллелей делят каждую дольку на 18 частей. Т.е. всего частей 24·18 = 432.
3.
Разрежьте изображенную на рисунке доску на 4 одинаковые части так, чтобы каждая из них содержала ровно 3 закрашенные клетки.

Решение

4.
Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на две части, из которых можно сложить треугольник.

Решение

5.
Пару доминошек 1×2 назовем гармоничной, если они образуют квадрат 2×2. Существует ли разбиение доски 8×8 на доминошки, в котором ровно одна гармоничная пара?

Ответ Решение

Ответ. Да, существует.
6.
Четырехугольник с длинами сторон 1, 1, 1 и 2, две из которых параллельны, разбит на четыре одинаковые фигуры. В результате верхняя сторона разделилась на четыре отрезка. Найти отношение длины большего отрезка к меньшему.

Ответ Решение

Решение. Пусть длина меньшего отрезка x, а большего y. Тогда
{ 3x +y =1,
3y +x =2.
Сложим эти два уравнения, получим, что 4x + 4y = 3, значит, x + y = 3/4 и 2x = 1 − 3/4. Т.е. x = 1/8, а y = 5/8. Т.е. y:x = 5.
7.
Разрежьте по клеточкам на 4 части фигуру, изображенную на рисунке, и сложите из них из них квадрат.

Решение

8.
а)
Можно ли шахматную доску разрезать на доминошки 1×2?

Ответ Решение

Ответ. Да, можно.
Решение. Шахматную доску можно разрезать на 8 полосок 1×8, а каждую такую полоску на 4 доминошки.
б)
А если из шахматной доски вырезали одну угловую клетку, то получится разрезать?

Ответ Решение

Ответ. Нет, не получится.
Решение. Каждая доминошка занимает 2 клетки. Т.е. если фигуру можно разрезать на доминошки, то в ней четное число клеток. Но 8·8 − 1 = 63 нечетно.
в)
А если вырезали две клетки: левую нижнюю и левую верхнюю?

Ответ Решение

Решение. Эту доску можно разбить на одну полоску 1×6 и 7 полосок 1×8. Каждую из них можно разрезать на доминошки.
г)
А если левую нижнюю и правую верхнюю?

Ответ Решение

Ответ. Нет.
Решение. Пусть поля этой доски покрашены, как в шахматах. Заметим, что вырезанные поля одного цвета. Любая доминошка покрывает одну белую и одну черную клетку. Т.е. при разбиении фигуры на доминошки количество белых и черных клеток должно быть одинаково. Но клеток одного цвета 30, а другого 32.

Дополнительные задачи

9.
Можно ли из квадрата 7×7 вырезать по линиям сетки 8 пятиклеточных букв «Т»? (Буквы «Т» можно поворачивать.)
10.
Из квадрата 5×5 вырезали центральную клетку. Разрежьте получившуюся фигуру на две части, в которые можно завернуть куб 2×2×2.