МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 5. Конструкции

1.

Иван-Царевич хочет победить Змея Горыныча, трехголового и треххвостого. Баба Яга, подавая Ивану волшебный меч, сказала: «Меч может отрубить за один удар один или два хвоста, либо одну или две головы. Не забывай, срубишь один хвост – вырастет два хвоста. Срубишь два хвоста – вырастет одна голова. Одну голову срубишь – одна голова и вырастет, а срубишь две головы – ничего не вырастет. А погибнет Змей только тогда, когда у него ни голов, ни хвостов не останется». Как Иван сможет зарубить Змея?

Решение

Решение. Отрубим один хвост, вырастет еще 2, всего их станет 4. Проделаем то же самое еще 2 раза, получим 3 головы и 6 хвостов. Теперь трижды отрубим по 2 хвоста, каждый раз будет вырастать по 1 голове. Теперь у змея нет хвостов, но есть 6 голов. Срубая их по 2, мы убьем змея. Конечно, это лишь одно из возможных решений, можно предложить немало других.

2.

Расставьте в кружках цифры от 1 до 7 так, чтобы сумма вдоль каждой из линий была одинаковой.

Ответ

Ответ.

3.

Применяя знаки арифметических действий и скобки, Наташа записала девятью двойками число 200. Как она это сделала?

Ответ

Ответ. Одно из возможных решений: (2·2·2 + 2)·(2·2·2 + 2)·2. Есть другие решения, в которых несколько двоек объединяются в одно число или даже одна из них используется как показатель степени.

4.

Тетрамино – это многоугольник, вырезанный из клетчатой бумаги и состоящий из 4 целых клеток, а пентамино – из 5 клеток. Сколько существует различных а) тетрамино, б) пентамино?

Решение Ответ

Решение. Будем считать одинаковыми многоугольники, которые можно получить друг из друга различными симметриями и поворотами. Постараемся перечислить все существующие многоугольники, соответственно, из 4 или 5 клеток. При этом будем обращать внимание на то, какое максимальное количество клеток выстроены в один ряд и как расположены остальные по отношению к ним. Сначала нарисуем те многоугольники, у которых это количество 4 (для пентамино – 5): такой, очевидно, только один. Затем нарисуем те, для которых это количество равно 3, по-разному располагая оставшиеся, и т.д. В результате получится примерно такой рисунок:

Замечание: тетрамино нам хорошо знакомы по игре «Тетрис». Существует и игра «Пентамино»: ее суть – складывать различные фигуры из нарисованных нами многоугольников (например, можно попробовать сложить прямоугольник 5×12 или 4×15). А если сделать их объемными (толщиной в 1 клетку), то можно собирать и пространственные фигуры. Кстати, а можно ли из них собрать кубик?

Ответ. а) 5, б) 12.

5.

Дедка вдвое сильнее Бабки, Бабка втрое сильнее Внучки, Внучка вчетверо сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее Кошки, Кошка вшестеро сильнее Мышки. Без Мышки все остальные Репку вытащить не могут, а с ней – могут. Сколько нужно Мышек, чтобы они сами вытащили Репку?

Решение Ответ

Решение. Обозначим «силу» Мышки за x, тогда «сила» Кошки 6x, Жучки 6x·5=30x, Внучки 30x·4=120x, Бабки 120x·3=360x, Дедки 360x·2=720x. Сложив все эти числа, получим x + 6x + 30x + 120x + 360x + 720x=1237x. Значит, чтобы вытащить Репку, нужно 1237 Мышек.

Ответ. 1237 Мышек.

6.

На сковороде могут одновременно жариться 2 котлеты. Каждую надо обжарить с обеих сторон, причём для обжаривания одной стороны требуются 2 минуты. Можно ли поджарить 3 котлеты меньше чем за 7 минут?

Решение Ответ

Решение. Сначала за 2 минуты поджарим котлеты 1 и 2 с одной стороны. Еще за 2 минуты поджарим котлету 1 с другой стороны и котлету 3 с любой стороны. За последние 2 минуты поджарим оставшиеся стороны котлет 2 и 3.

Ответ. Mожно.

7.

Можно ли на шахматной доске расставить а) 9 ладей; б) 14 слонов так, чтобы они не били друг друга?

Решение Ответ

Решение. а) каждая ладья бьет одну горизонталь и одну вертикаль. На шахматной доске тех и других по 8. Значит, по принципу Дирихле («если трех кроликов посадить в две клетки, то хоть в одной клетке будет больше одного кролика») девять ладей нельзя расставить так, чтобы они не били друг друга.
б) Одно из возможных решений: 8 слонов ставим на верхнюю горизонталь доски, а еще 6 – на нижнюю, не используя крайние клетки. Легко убедиться, что они не бьют друг друга.

Ответ. а) Нельзя, б) можно.

8.

Первая слева цифра десятизначного числа равна числу единиц в записи этого числа, вторая – числу двоек, третья – числу троек, четвертая – числу четверок, …, девятая – числу девяток, десятая – числу нулей. Найдите это число.

Решение Ответ

Решение. Полностью исключить перебор при решении этой задачи довольно трудно, но можно его сильно сократить. Заметим, например, что в числе не может быть больше одной пятерки, шестерки, семерки, восьмерки и девятки (а иначе было бы, скажем, 6 единиц и 6 двоек, и всего цифр было бы больше 10). Аналогично, четверок в числе – не больше 2, троек – не больше 3, двоек – не больше 5. Можно даже заметить, что семерок, восьмерок и девяток нет вовсе (скажем, если бы была девятка, то было бы 9 каких-то одинаковых цифр. Нулями они быть не могут, ведь тогда и девятки в числе «не будет», а иначе в числе будут все цифры, из чего тоже легко вывести противоречие). Ну и самое простое – сумма всех цифр числа должна в точности равняться 10, поскольку общее количество цифр 10.
Замечание. Ограничивая перебор еще сильнее, можно даже доказать единственность числа, удовлетворяющего условию задачи, но это требует уже более сложных рассуждений.

Ответ. 2100010006.

9.

Можно ли расставить в квадрате 4×4 числа от 1 до 16 так, чтобы число в каждой клетке было либо меньше всех чисел, стоящих в соседних по стороне клетках, либо больше всех этих чисел?

Решение Ответ

Решение. Допустим, число в левом верхнем углу квадрата больше соседних, тогда соседние с ним меньше своих соседей и т. д. То есть «бóльшие» и «меньшие» числа располагаются в шахматном порядке (на рисунке места для «бóльших» выделены серым цветом). Дальше можно на места «бóльших» чисел как угодно записать числа от 9 до 16, а на места «меньших» — от 1 до 8. Пример – на рисунке.

Ответ. Mожно.

10.

Есть три сосуда 3 л, 4 л и 5 л без делений, кран с водой, раковина и 3 л сиропа в самом маленьком сосуде. Можно ли с помощью переливаний получить 6 л смеси воды с сиропом так, чтобы в каждом сосуде воды и сиропа было поровну?

Ответ Решение

Ответ. Можно.

Решение. Перельем весь сироп в 4-л сосуд. При помощи 3-л и 5-л сосудов отмерим 2 л воды (они будут в пятилитровом сосуде). Теперь снова перельем сироп в 3-л сосуд, а полученные до этого 2 л воды – в 4-л. Дольем 4-л сосуд доверху сиропом, а оставшийся 1 л сиропа перельем в 5-л сосуд. Из 4-л сосуда, где у нас уже необходимая нам смесь, отольем 3 л этой смеси в 3-л сосуд. Эти 3 л дольем в 5-л сосуд, где уже есть 1 л чистого сиропа. Теперь там 4 л смеси, где 1,5 л воды и 2,5 л сиропа. Дольем этот сосуд доверху водой, получим еще 5 л нужной смеси (еще 1 л, как мы помним, остался в 4-л сосуде). А чтобы смесь была в каждом сосуде, можно теперь часть смеси (неважно какую, главное – не более 3 л) перельем в пустой 3-л сосуд. Задача решена.

11.

Постройте замкнутую 10-звенную ломаную, которая каждое свое звено пересекает ровно два раза.

Решение

Решение. Легко придумать такую 5-звенную ломаную – это 5-конечная звезда, нарисованная без отрыва карандаша от бумаги. Теперь нарисуем рядом две такие звезды и немного раздвинем концы отрезков, образующих один из лучей каждой звезды. Осталось совместить образовавшиеся свободные концы отрезков, следя за тем, чтобы два отрезка не оказались на одной прямой (чтобы два звена не срослись в одно).