МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 16. Вася любит читать книги, или Четность

Предварительные задачи

1°.

Можно ли выписать в ряд по одному разу цифры от 1 до 9 так, чтобы между единицей и двойкой, двойкой и тройкой, …, восьмеркой и девяткой было нечетное число цифр?

Ответ Решение

Ответ. Нельзя.

Решение. Если между 1 и 2 и между 2 и 3 нечетное число цифр, то между 1 и 3 — тоже нечетное (проверьте, что это верно независимо от того, в каком порядке эти цифры располагаются в записи). Аналогично, поскольку между 1 и 3 и между 3 и 4 нечетное число цифр, то и между 1 и 4 нечетное число цифр. Продолжая эти рассуждения, получим, что нечетное число цифр между 1 и 5, 1 и 6, 1 и 7, 1 и 8, 1 и 9. Но это означает, что между 1 и любой другой цифрой есть еще хотя бы одна цифра. А такого быть не может.

2°.

Ученица 5 класса Катя и несколько ее одноклассников встали в круг, взявшись за руки. Оказалось, что каждый держит за руки либо двух мальчиков, либо двух девочек. Если в кругу стоит пять мальчиков, то сколько там стоит девочек?

Ответ Решение

Ответ. 5 девочек.

Решение. Одна девочка в кругу уже есть — это сама Катя. Тогда соседние с ней мальчики должны стоять меджу двумя девочками и так далее. То есть если с одной стороны от мальчика стоит девочка, то и с другой тоже. Поэтому мальчики и девочки в кругу чередуются. Значит, мальчиков и девочек там равное количество, а именно по 5.

3°.

Можно ли доску размером 5×5 заполнить доминошками размером 1×2?

Ответ Решение

Ответ. Нельзя.

Решение. Площадь всей доски равна 5·5=25, а площадь каждой доминошки равна 1·2=2. Поскольку 25 — нечетное число, целым числом доминошек доску заполнить не удастся.

4°.

Дядька Черномор написал на листке бумаги число 20. Тридцать три богатыря передают листок друг другу, и каждый или прибавляет к числу или отнимает от него единицу. Может ли в результате получиться число 10?

Ответ Решение

Ответ. Не может.

Решение. Каждый из богатырей прибавляет к числу 1 или −1, то есть нечетное число. Сумма тридцати трех нечетных чисел тоже нечетна, поэтому в результате действий богатырей к числу 20 прибавится нечетное число, и сумма тоже будет нечетной. Значит, десяти она равняться никак не может.

Основные задачи

1.

Вася купил книгу известного писателя. В книге было 208 листов. Прочитав книгу, Вася решил, что книга плохая, и все самое лучшее в ней собрано на нескольких (а именно 25) листах, которые он из нее и вырвал, а книгу выбросил. Вася, как настоящий математик, стал искать закономерность в хороших страницах книги и сложил все 50 чисел, которыми они нумеровались. Могло ли у него получиться 2010?

Ответ Решение

Ответ. Не могло.

Решение. На каждом листе книги есть две страницы — четная и следующая за ней нечетная, поэтому сумма номеров страниц на двух сторонах одного листа нечетна. Сумма 25 нечетных чисел тоже нечетна и не может равняться 2010.

2.

Вася на каникулах собирается съездить в Испанию. Он решил прочитать книгу об известном испанском архитекторе Антонио Гауди. Он узнал, что в его творчестве много раз присутствовал магический квадрат 4×4 (такой квадрат, сумма чисел в каждой строке и каждом столбце которого одинакова). Вася задумался: а можно ли составить такой квадрат из первых 16 простых чисел? А вы как думаете?

Ответ Решение

Ответ. Нельзя.

Решение. Среди первых 16 простых чисел (да и вообще среди простых чисел) только число 2 четно, а все остальные нечетны (иначе они делились бы на 2 и были бы составными). В строке, где находится число 2, будет одно четное число и три нечетных, значит, сумма чисел в этой строке также будет нечетна. А в остальных строках будет по четыре нечетных числа, и их сумма будет четна. Поэтому магический квадрат из первых 16 простых чисел составить нельзя.

3.

Вася читал политический роман. В нем рассказывалось про страну, в парламенте которой две палаты, и в обеих палатах одинаковое число депутатов. В голосовании по важному вопросу приняли участие все депутаты, причем воздержавшихся не было. В результате голосования председатель сообщил, что решение принято с преимуществом в 23 голоса. Вася не стал дальше читать этот роман, так как его автор совсем не подумал о возможности такого голосования. В чем была ошибка автора?

Решение

Решение. Предположим, что «против» прголосовало n депутатов, тогда «за» проголосовало n+23 депутатов. Поскольку голосовали все, то общее число депутатов в парламенте равно n+n+23=2n+23. Это нечетное число, поскольку 2n четно, а 23 нечетно. Но поскольку в обеих палатах парламента равное число депутатов, то общее число депутатов в парламенте должно быть четным. Полученное противоречие доказывает, что автор книги ошибся.

4.

Следующая васина книга была про капитана Кука. Уже под конец книги капитан Кук попал в плен к гавайскому племени. Их главарь требует у него выкуп, причем, будучи суеверным, хочет получить желаемую сумму ровно тринадцатью монетами. У Кука были только монеты достоинством в 10, 30, 70 и 150 дублонов, а выкуп был назначен в 1000 дублонов. Вася понял, чем кончится дело, и не стал дочитывать книгу. Как и что понял Вася?

Ответ Решение

Ответ. Вася понял, что капитан Кук при всем желании не сможет выполнить требования главаря племени и дела его, по всей видимости, очень плохи.

Решение. Числа 10, 30, 70 и 150 состоят из нечетного числа десятков, поэтому сумма 13 монет с такими достоинствами тоже будет состоять из нечетного числа десятков. А число 1000 состоит из 100, то есть четного числа, десятков. Поэтому набрать ровно 1000 дублонов монетами по 10, 30, 70 и 150 дублонов не удастся.

5.

Потратив все карманные деньги на книги, Вася решил подзаработать, сыграв со своим другом Петей в следующую игру. Он дал ему три карточки с числами 1, 3, 8 и сказал: «При каждом ходе ты мне будешь давать рубль и три карточки с числами a, b и c, a я буду тебе давать карточки с числами a+b-c, b+c-a, c+a-b. Если в какой-то момент у тебя появятся карточки с числами -1, 3, 9, то я тебе отдам в два раза больше денег, чем ты потратил на игру со мной!» Сможет ли выиграть Петя?

Ответ Решение

Ответ. Не сможет.

Решение. Заметим, что после замены карточек с числами a, b и c на карточки с числами a+b-c, b+c-a, c+a-b сумма чисел на трех карточках не изменяется: (a+b-c)+(b+c-a)+(c+a-b)=a+b+c. Первоначально сумма всех чисел равна 1+3+8=12, а сумма «выигрышных» чисел равна -1+3+9=11. Поэтому Петя выиграть никогда не сможет.

6.

Когда Петя узнал, в чем был подвох, он расстроился и сказал Васе, что он это подозревал. Поэтому из 101 монеты, которые он отдал Васе, 50 фальшивых, и они отличаются по весу на 1 грамм. Вася нашел дома чашечные весы со стрелкой, показывающие разность весов на чашах, и придумал, как за одно взвешивание узнать про конкретную монету, фальшивая она или нет. А вы придумали?

Решение

Решение. Выберем конкретную монету и отложим ее в сторону, а оставшиеся 100 монет разложим поровну на чаши весов. Если выбранная монета настоящая, то на весах находятся все 50 фальшивых монет, то есть четное число. Поэтому разность между количеством фальшивых монет на правой и левой чашке весов обязательно четна (вспомните задачу №3). А эта разность как раз равна разности весов на чашах. Аналогично, если выбранная монета — фальшивая, то на весах всего 49 фальшивых монет, и разность весов на чашах будет нечетна.

7.

Но 50 рублей Васе все равно не хватало на желаемую книгу. Тогда он пошел к еще одному другу Юре и предложил поспорить: «Я сейчас напишу на доске числа от 1 до 100. Ты будешь стирать любые два числа и писать вместо них их разность так, чтобы в конце осталась 1. Спорим, что ты не сможешь этого сделать?» Юра поспорил. Выиграл ли Вася?

Ответ Решение

Ответ. Выиграл.

Решение. Первоначально сумма всех написанных на доске чисел равна 1+2+...+100 и является четной, так как в ней 50 четных слагаемых и 50 нечетных. (Кстати, вспомните, каким способом можно легко вычислить эту сумму.) Предположим, при очередном ходе Юра стирает числа a и b. Можно считать, что a<b. Обозначим r=b-a, тогда b=a+r. При очередном ходе числа a и b заменяются на число r. А как при этом меняется сумма всех чисел, записанных на доске? До стирания она была равна a+b+S=a+a+r+S=2a+r+S, где S — сумма всех записанных чисел, кроме a и b. После стирания эта сумма будет равна r+S, то есть за один ход она уменьшилась на 2a — четное число. Поэтому после любого количества ходов сумма всех чисел на доске останется четной, а «выигрышная» для Юры единица — нечетна.

8.

Итак, Вася накопил на желаемую книгу. В этой книге рассказывалось про девушку Лиду, у которой было много поклонников, и все они знали, что Лида любит ландыши. И вот пятеро из них подарило Лиде букеты из ландышей. Лида очень обрадовалась и расставила ландыши в вазы по кругу. А еще Лида была умная девочка и поняла, что найдутся две соседних вазы, суммарное количество ландышей в которых четно.

a)

Согласны ли вы с ней?

б)

Как вы думаете, всегда ли можно найти две соседние вазы, суммарное количество ландышей в которых кратно трем?

Ответ Решение

Ответ. а) Да; б) нет.

Решение.

а) Предположим, что в любых двух соседних вазах суммарное количество ландышей нечетно. Тогда если в одной из ваз четное число ландышей, то в соседних с ней — нечетное. Значит, «четные» и «нечетные» вазы чередуются. Попробуем расставить четности по кругу, начиная с четного числа. Вот что у нас получится: Ч – Н – Ч – Н – Ч. Круг замкнулся, и рядом все-таки оказались две «четные» вазы, суммарное количество ландышей в которых четно. Если же начать с нечетного числа, то получится вот что: Н – Ч – Н – Ч – Н. В этом случае рядом оказались две «нечетные» вазы, и суммарное количество ландышей в них тоже четно. Значит, Лида была права.

б) Расставим по кругу вазы, в которых число ландышей равно, соответственно, 3, 7, 7, 3, 7. Легко убедиться, что суммарное количество ландышей в любых двух соседних вазах не кратно трем. Попробуйте придумать свои примеры таких расстановок.