МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 19. Игры

В каждой задаче этого занятия нужно в какой-то игре придумать выигрышную стратегию для одного из игроков. Решение таких задач должно состоять из двух частей. Сначала нужно сказать, кто из игроков всегда может выиграть. Дальше нужно предложить для этого игрока выигрышную стратегию и доказать, что она действительно выигрышная (то есть объяснить, почему, придерживаясь этой стратегии, он не окажется в проигрышном положении раньше соперника). Стратегия игрока — это способ сделать очередной ход в зависимости от предыдущего хода соперника, а для первого игрока — еще и самый первый ход.

1.

Дана доска 9×9. Двое по очереди выставляют на нее королей так, чтоб они не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто выигрывает при правильной игре и как он должен играть?

Ответ Решение

Ответ. Первый.

Решение. Первым ходом первый игрок ходит в центр, а затем повторяет ходы противника симметрично относительно центра. Пока второму игроку есть куда пойти, следующий ход первого игрока также возможен.

2.

Двое по очереди выкладывают на круглый стол одинаковые монеты так, чтоб никакие две не налегали друг на друга. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто выигрывает при правильной игре и как он должен играть?

Ответ Решение

Ответ. Первый.

Решение. Первым ходом первый игрок кладет монету в центр стола, а дальше повторяет ходы соперника симметрично относительно центра. Пока второму игроку есть куда пойти, следующий ход первого игрока также возможен.

3.

Даны две кучки по 2010 камней. Играют двое. За один ход можно взять любое количество камней от 1 до 7, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто выигрывает при правильной игре и как он должен играть?

Ответ Решение

Ответ. Второй.

Решение. Второй игрок своим очередным ходом должен брать столько камней, сколько перед этим возьмет первый игрок, но из другой кучки.

4.

Дана доска 11×11, в каждой клетке которой стоит по шашке. За один ход можно снять любое количество подряд идущих шашек в столбце или в строке. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто выигрывает при правильной игре и как он должен играть?

Ответ Решение

Ответ. Первый.

Решение. Первым ходом первый игрок снимает шашку, стоящую в центральной клетке, а затем повторяет ходы соперника симметрично относительно центра.

5.

На окружности расставлено 20 точек. За ход разрешается соединить любые две из них отрезком, не пересекающимся с отрезками, проведенными ранее. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре и как ему для этого надо играть?

Ответ Решение

Ответ. Первый.

Решение. Можно считать, что точки на окружности расставлены через равные промежутки. За счет того, что их четное число, среди отрезков, соединяющих эти точки, можно выбрать диаметр окружности (в нашем случае это будет отрезок, соединяющий первую и одиннадцатую точки). Первый игрок своим первым ходом проводит этот диаметр, и второй игрок теперь может соединять только точки, находящиеся по одну сторону от него. Затем первый игрок повторяет ходы соперника симметрично относительно диаметра.

6.

По кругу расставлены фишки. За ход разрешается снять одну или две подряд идущие фишки. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто выигрывает при правильной игре, если всего:

a)

12 фишек;

b)

13 фишек;

c)

n фишек?
Примечание.Две фишки считаются подряд идущими в том случае, если они стоят рядом с самого начала игры или если они стали соседними в ходе игры (то есть если первоначально стоявшие между ними фишки были сняты предыдущими ходами).

Ответ Решение

Ответ. a) Второй;
b) первый;
c) при n кратном трем второй, иначе — первый.

Решение.

Если n кратно трем, второй игрок может действовать так: если его противник очередным ходом снял две фишки, то он следующим ходом снимает одну, и наоборот. Суммарное количество фишек, снятых двумя противниками за пару ходов (каждый делает по одному ходу), будет все время равно 3 (1+2 или 2+1). Через несколько пар ходов фишек не останется, и будет ход первого игрока.
Если n дает остаток 1 или 2 при делении на 3, первый игрок первым ходом снимает, соответственно, одну или две фишки. Дальше он действует так же, как действовал бы второй игрок при n кратном трем.

7.

На доске написаны числа 1, 2, ..., 100. Играют двое. За один ход разрешается заменить любую запятую на знак «+» или на знак «×». В конце игры находят значение полученного выражения. Если оно четно, то выигрывает первый, если нечетно, то второй. Кто выиграет при правильной игре?

Ответ Решение

Ответ. Первый.

Решение. Первый игрок первым ходом ставит плюс между 50 и 51 и тем самым разделяет все написанные числа на две части, а дальше повторяет ходы соперника в другой части. То есть если, например, второй игрок очередным ходом поставил + между 5 и 6, то первый игрок следующим ходом ставит + между 55 и 56, и наоборот (то же самое относится и к умножению). Тем самым четность выражений в левой и правой части записи будет одинаковой, а все записанное на доске выражение будет четно как сумма двух выражений одинаковой четности.

8.

Дана доска 8×8. Двое по очереди выставляют на нее

a)

ладей;

b)

коней,

c)

слонов так, чтобы они не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто выигрывает при правильной игре и как он должен играть?

Ответ Решение

Ответ. Второй во всех случаях.

Решение. a), b) Второй игрок может повторять ходы первого симметрично относительно центра доски.
c) Второй игрок может повторять ходы первого симметрично относительно «средней линии» доски.

9.

Хромой называется фигура, которая может ходить только в правый верхний квадрант (то есть либо вверх, либо вправо, либо по диагонали вверх–вправо, но в соответствии с правилами для «обычной» фигуры того же вида). Двое по очереди двигают данную им фигуру по доске 8×8. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто выиграет, если в начале игры в левом нижнем углу доски стоит:

a)

хромой король;

b)

хромая ладья.

Ответ Решение

Ответ. а) Первый; b) второй.

Решение.

а) Если бы король в начале игры стоял в верхнем правом углу доски (Н8), выиграл бы второй игрок (первый игрок не смог бы сделать ни одного хода). Пометим эту клетку цифрой 2. Из любой из соседних клеток (G7, G8, H8) в угловую клетку можно попасть одним ходом короля. Поэтому если бы в начале игры король стоял в одной из этих клеток, первый игрок смог бы выиграть, передвинув короля в угол. Эти три клетки пометим цифрой 1. Все остальные клетки доски тоже можно пометить цифрами 1 и 2 в зависимости от того, кто из игроков выиграл бы, если бы король в начале игры стоял в этой клетке. (Начинать нужно «с конца», то есть из верхнего правого угла доски.) Делается это по следующему правилу. Если из очередной клетки можно одним ходом попасть в клетку, уже помеченную двойкой, ставим в этой очередной клетке единицу, в противном случае — двойку. (Подумайте, почему этот способ приводит к верному результату.) Вот что у нас в конце концов получится:

1	2	1	2	1	2	1	2
1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	1	2	1	2	1	2
1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	1	2	1	2	1	2
1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	1	2	1	2	1	2
1	1	1	1	1	1	1	1

Теперь ясно, что если король в начале игры стоит в левом нижнем углу доски, то выигрывает первый игрок. Его стратегия состоит в том, чтобы очередным ходом переходить в клетку, помеченную цифрой 2. В силу правила, по которому мы расставляли цифры, ему это всегда будет удаваться.

Замечание. Таким же способом задача решается для прямоугольной шахматной доски любых размеров и любого начального положения короля.

b) Второй игрок своим ходом должен возвращать ладью на главную диагональ (А1–Н8). То есть если первый игрок двинул ладью на k клеток вправо, то второй должен ее двинуть на k клеток вверх, и наоборот.

Примечание. При решении этой задачи мы использовали общепринятые обозначения для клеток шахматной доски. Вертикали обзначаются буквами латинского алфавита от А до Н, а горизонтали — арабскими цифрами от 1 до 8. Клетка, стоящая на пересечении соответствующих вертикали и горизонтали, обозначается так: сначала пишется буква вертикали, а потом цифра горизонтали.