МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 14. Математический аукцион

Правила

Математический аукцион — это соревнование команд, численность которых обычно от 2 до 5 человек (количество участников заранее оговаривается). Один из членов команды является капитаном.
В начале аукциона каждая команда получает кредит — определённое число тугриков (скажем, 100). Игра состоит из нескольких лотов. В каждом лоте ведущим аукциона выставляется на торги одна задача, цена которой объявляется (именно столько получит команда, выигравшая этот лот).
К любой задаче требуется только ответ. Выигравшей лот считается та команда, которая последней сделала результативный ход, то есть предъявила один из верных ответов на задачу, причём такой, который не был ранее предъявлен другими командами. Если же ни одна команда не сумела сделать результативного хода, то со счёта каждой команды снимается число тугриков, равное цене задачи.
Каждый раз, когда команда желает предъявить ответ, происходят торги. Заявка на торг и даваемая цена выслушивается ведущим только от капитана команды и только в том случае, если он поднял руку, а ведущий указал на него. Если на доске появился неправильный ответ, участникам об этом не сообщается, пока лот не завершён (всё равно он не будет признан результативным).

Задачи

Примечание. Мы не приводим ни ответов, ни решений к этим задачам. Решение многих из них состоит в разумном переборе. Найти «самый лучший» ответ (и особенно доказать, что именно он является «самым лучшим») в таких задачах трудно или почти невозможно. Смысл этих задач именно в том, чтобы соревноваться, предлагая варианты лучше, чем у соперника.

1.

Придумайте натуральное число, делящееся на 14, с как можно меньшей суммой цифр.

2.

Расставляя скобки в выражении 1:2:3:4:5:6:7:8:9, получить число, как можно более близкое к 10 (двоеточия обозначают операцию деления).

3.

Разрезать на возможно большее число частей плоскость двумя четырехугольниками (не обязательно выпуклыми).
Примечание: многоугольник называется выпуклым, если любая его диагональ полностью лежит внутри него, и невыпуклым в противном случае.

4.

Придумайте как можно более длинную цепочку различных слов русского языка (существительных в единственном числе, именительном падеже, нарицательных), в которой первые три буквы каждого следующего слова совпадали с последними тремя буквами предыдущего (например: корОЛЬ — ОЛЬха).

5.

Разбейте прямоугольник 1×3 на возможно меньшее число квадратов так, чтобы среди них не нашлось трех равных.

6.

На доске написано слово АПЕЛЬСИН. За один ход можно поменять местами либо две соседние буквы, либо две буквы, стоящие через одну. Преобразовать слово АПЕЛЬСИН в слово СПАНИЕЛЬ за как можно меньшее число ходов.

7.

Расставить на шахматной доске как можно меньше коней так, чтобы они били все черные поля.

8.

Получить число 2001 с помощью как можно меньшего количества единиц (разрешается использовать операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и скобки).

9.

Получить число 2001 с помощью как можно меньшего количества одинаковых цифр (разрешается использовать операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и скобки).

10.

Внутри квадрата 10×10 клеток расположите без наложений друг на друга как можно больше фигурок, изображенных на рисунке.

11.

Найдите как можно больше прямоугольных треугольников, длины сторон которых выражаются целыми числами и не превосходят 100.
Примечание. Для решения этой задачи следует воспользоваться теоремой Пифагора: В прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов (то есть сторон, прилежащих к вершине прямого угла) равна кадрату длины гипотенузы (то есть стороны, противолежащей вершине прямого угла).
Прямоугольные треугольники с целыми длинами всех сторон называются еще пифагоровыми треугольниками.

12.

Малыш съедает кусок торта за 4 минуты, выпивает стакан молока за 5 минут и съедает банку варенья за 6 минут. Карлсон съедает кусок торта за 3 минуты, выпивает стакан молока за 1 минуту и съедает банку варенья за 2 минуты, а Фрекен Бок тратит на эти вкусности 3, 4 и 5 минут соответственно. За какое наименьшее время они втроем осилят завтрак из трех кусочков торта, трех стаканов молока и банки варенья?

13.

Постройте самую длинную цепочку ходов шахматного коня на доске 8×8 так, чтобы траектория его не имела самопересечений (считается, что конь ходит из центра клетки в центр клетки).

14.

Внутри квадрата 13×13 расположите без наложений друг на друга как можно больше фигурок вида

15.

На деревянной линейке нанесите как можно меньше меток так, чтобы любое расстояние, выражающееся целым числом от 1 до 20, можно было отложить при помощи двух каких-то меток.

16.

Запишите число 2000, используя при этом только тройки и обойдясь при этом как можно меньшим числом цифр. Количество операций, возведений в степень, извлечений корня и т.д. не ограничивается.

17.

Проведите на плоскости 7 прямых так, чтобы получилось как можно больше треугольных областей (область — часть плоскости, которая ничем не пересечена).

18.

Найдите как можно больше решений ребуса:

Здесь одинаковые буквы соответствуют одинаковым цифрам, разные буквы — разным цифрам.

19.

Составить как можно более длинное предложение, состоящее из осмысленных слов, такое, чтобы буквы в нем не повторялись.

20.

Дана доска 4×4. Разрешается разрезать любую клетку по диагонали (можно сделать два разреза по обеим диагоналям). Сделайте наибольшее число разрезов в так, чтобы доска не развалилась на части.

21.

Найдите трехзначное число, имеющее наибольшее число различных делителей.

22.

За один ход в данном слове можно заменить одну любую букву слова на любую другую так, чтобы получилось нарицательное существительное в единственном числе и именительном падеже. (Например, можно получить из слова «КОТ» слово «ПЕС» так: КОТ–ПОТ–ПАТ–ПАС–БАС–БЕС–ПЕС) Сделайте из слова «МУХА» слово «СЛОН» за наименьшее число ходов.

23.

Поставьте вместо звездочек различные цифры от 0 до 9 так, чтобы сумма дробей ^***/_*** + ^***/_** равнялась как можно большему числу.