МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Занятие 6. Подсчёт двумя способами

—

Можно ли расставить числа в квадратной таблице 5×5 так, чтобы сумма чисел в каждой строке была больше 100, а в каждом столбце — меньше 100?

—

Дима вбил три гвоздика и натянул между ними веревки так, что к каждому оказалось привязано по 2 веревки. Сколько всего веревок?

—

Дима вбил в доску несколько белых гвоздиков и несколько черных, а потом натянул между некоторыми из них веревочки. Оказалось, что каждый черный гвоздик соединен с пятью белыми, а каждый белый — с четырьмя черными. Каких гвоздиков больше — черных или белых?

—

У членов команды пиратского корабля есть треуголки, на углах которых висят кисточки: на одном — одна, на другом — две и на третьем — три. Каждый вечер пираты аккуратно складывают треуголки стопкой. Однажды один из пиратов, сложив так все треуголки, он насчитал с каждого угла по 25 кисточек и понял, что кто-то из пиратов потерял кисточку. Прав ли он?

1.

В Радужном городе живут 13 чебурашек. У каждого чебурашки есть три воздушных шарика: один красный, один синий и один зелёный. Время от времени любой чебурашка может поменяться одним из своих шариков с другим чебурашкой. Может ли случиться так, что у каждого чебурашки окажутся шарики только какого-либо одного цвета?

2.

На острове 7 озер, из каждого вытекает 3 реки и в каждое впадает 2 реки. (Реки впадают только в другое озеро или океан). Сколько рек впадает в океан?

3.

Кирилл хочет покрасить в черный цвет некоторые клетки белой таблицы 4×5 так, чтобы в каждой строке белых клеток было больше, чем черных, а в каждом столбце — белых меньше, чем черных. а) Удастся ли ему это сделать? б) а если у Кирилла таблица 8×8?

4.

Митя соединил проводами несколько компьютеров. От одного компьютера отходит 4 провода, от трех компьютеров по 3 провода, от четырех — по 2 провода и от одного компьютера — один провод. Сколько всего проводов протянул Митя?

5.

Федора натянула веревки для белья. Причем к 6 гвоздикам она прикрепила по 7 веревок, к 4 гвоздикам — по 6 веревок, и к 8 — по 2 веревки. Сколько всего веревок она натянула?

6.

Аня, Боря и Вася играют в шахматы. Каждый сыграл по 10 партий. а) Сколько всего партий было сыграно. б) Могло ли быть так, что Аня сыграла с Борей больше партий, чем с Васей?

7.

Имеется несколько одинаковых квадратов, в вершинах каждого из которых написаны натуральные числа от 1 до 4. Квадраты сложили в стопку вершина к вершине. Может ли при этом оказаться, что суммы чисел при каждой из четырёх вершин стопки одинаковы и равны 2008?

8.

Докажите, что нельзя выписать в строку 70 чисел так, чтобы сумма любых 7 идущих подряд чисел была больше 90, а сумма любых 10 идущих подряд чисел — меньше 120.

9.

В классе каждый мальчик дружит с тремя девочками, а каждая девочка дружит с двумя мальчиками. Кроме того известно, что в этом классе 19 парт, а 31 ученик класса умеет плавать. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек?

10.

На кошачей выставке в ряд сидит несколько котов и 19 кошек, причём рядом с каждой кошкой сидит более толстый кот. Докажите, что можно найти по крайней мере 10 котов, рядом с каждым из которых сидит кошка, которая тоньше его.