МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Занятие 3. Чередование

–

Лягушонок живёт на одном берегу болота ,а комары, которых он ест, живут на другом берегу. Однажды лягушонок несколько раз сходил на обед и вернулся домой, после чего заявил, что пересек болото 2009 раз. Могло ли такое быть?

–

Лягушонок прыгает только с зелёной кочки на красную, а с красной на зеленую.

а)

 Однажды он пропрыгал с одного берега на другой и насчитал 10 прыжков на красные кочки и 12 прыжков на зелёные. Может ли такое быть?

б)

Лягушонок несколько раз сходил на обед и вернулся обратно. Оказалось, что на красных кочках он побывал на 7 раз больше, чем на на зелёных. Какое наименьшее количество раз лягушонок мог сходить на обед?

–

Хромая ладья умеет ходить только на соседние по стороне клетки. Хромая ладья обошла все клетки доски 5×5, побывав на каждой клетке по одному разу. Нарисуйте хотя бы один из возможных маршрутов ладьи. Отметьте клетки, которые не могут быть началом и концом маршрута.

1.

Может ли хромая ладья обойти все клетки доски 5×5, побывав на каждой клетке ровно один раз, и вернуться на исходную клетку?

2.

Может ли шахматный конь обойти клетки доски 9×9, побывав на каждой клетке по одному разу, и вернуться обратно?

3.

Аня попала в Зазеркалье, где встретила свое отражение – Яну. Потом Яна попала в свое Зазеркалье, где встретила свое отражение – конечно же, Аню-2! Аня-2 попала в свое Зазеркалье, где была Яна-2. И так происходило достаточно долго, пока зеркало не разбилось. Назовите, как звали 2009-ю девочку?

4.

Катя и ее друзья расселись за круглым столом. Оказалось, что оба соседа каждого из детей – одного пола. Мальчиков среди них было пятеро. А сколько за столом девочек?

5.

Шаман племени диких математиков объявил «ужасающими» числа, в которых встречаются две подряд чётные или две подряд нечётные цифры. Числа же, в которых встречаются все чётные цифры, шаман объявил «величественными». Найдите наименьшее «величественное» число, которое не является «ужасающим»?

6.

Барон Мюнгхаузен, вернувшийся из кругосветного путешествия, рассказывает, что по пути он пересек границы Трапезундии 13 раз. Верите ли Вы ему?

7.

За круглым столом сидят мальчики и девочки. Учительница положила между соседями-мальчиками по ручке, между соседями-девочками – по карандашу, а если рядом сидели мальчик и девочка, то между ними она положила тетрадку.

а)

Докажите, что ей понадобится четное число тетрадок.

б)

А может ли она обойтись нечетным количеством ручек?

в)

Каким минимальным числом карандашей она могла обойтись, если за столом сидят четыре мальчика и восемь девочек?

8.

У Наташи дома живут паучки, любящие разнообразие, которые очень любят ползать по проволочкам. Наташа связала проволочками несколько пуговиц (каждую пуговицу она соединяла проволочками с одной или несколькими другими), и посадила на получившуюся конструкцию нескольких паучков, любящих разнообразие. Проползая по проволочке, паучок красит её в белый или чёрный цвет: покрасив проволочку в чёрный, следующую он красит в белый, следующую опять в чёрный, и так далее. По уже покрашенным рёбрам паучок не ползает. Когда паучок попадает в безвыходное положение, он расстраивается и засыпает. После того как паучки раскрасили все проволочки в белый и чёрный цвета, оказалось, что чёрных проволочек на 5 больше, чем белых. Какое наименьшее количество паучков могло быть у Наташи?

9.

Наташа посадила паучка, любящего разнообразие, в вершину серого проволочного куба. Паучок пополз по рёбрам куба (проволочкам). Какое наибольшее число рёбер куба сможет покрасить паучок?

10.

Наташа посадила в разные вершины куба несколько паучков, любящих разнообразие, и они раскрасили все рёбра куба в белый и чёрный цвет. При каком наименьшем количестве паучков это возможно?

11.

В Пустоземье живут три племени: эльфы, гоблины и хоббиты. Эльф всегда говорит только правду, гоблин всегда лжёт, а хоббит через раз говорит то правду, то ложь. Однажды за круглым столом пировало несколько пустоземцев, и один из них сказал, указав на своего левого соседа: "Он — хоббит". Сосед сказал: "Мой правый сосед солгал". В точности ту же фразу затем повторил его левый сосед, потом её же произнёс следующий по кругу, и так они говорили "Мой правый сосед солгал" много-много кругов, да и сейчас ещё, возможно, говорят.  Определите, из каких племён были пирующие, если известно, что за столом сидело  а) девять;  б) десять  жителей Пустоземья. Объясните своё решение.