МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Занятие 5. Циклы и остатки

1.

Косте подарили игрушечного робота. Костя включил его и долго наблюдал. Вот что он заметил: 1) Если сейчас робот кивает, то через минуту он моргает. 2) Если сейчас робот топает, то через минуту он хлопает. 3) Если сейчас робот пищит, то через минуту он кивает. 4) Если сейчас робот трещит, то через минуту он пищит. 5) Если сейчас робот моргает, то через минуту он топает. 6) Если сейчас робот хлопает, то через минуту он трещит. Сейчас робот пищит. Что он будет делать через 40 минут?

2.

Сегодня воскресенье. Какой день недели будет через 100 дней?

3.

Олег Юрьевич поднимается на собственный вертолет по трапу с 222 ступеньками. С последней ступеньки он сможет влезть в вертолет, только если наступит на эту ступеньку левой ногой, а иначе грохнется с огромной высоты. С какой ноги надо ему начинать подъем? А если бы у Олега Юрьевича было 5 ног, а шагнуть на последнюю ступеньку он мог только третьей или четвертой ногой?

4.

Артур, Степан и Гриша играют в мяч, пасуя его по кругу. Вначале мяч был у Артура. У кого он будет после 1001-го паса?

5.

Саша, Женя и Алла играли в мяч, пасуя его по кругу. Вначале мяч был у Саши. После того, как девочки сделали сотый пас, к ним присоединилась Ира. Где должна встать Ира, чтобы мяч оказался у нее: а) после 199-го паса? б) после 200-го паса?

6.

Сейчас 12 часов 42 минуты. Куда будет показывать минутная стрелка через 100 минут? Через 1000 минут? Через 600000 минут?

7.

На дворе зима. Какое время года будет: а) через 240 месяцев; б) 999 месяцев; в) через 1000 месяцев?

8.

Начнём считать пальцы на руке следующим образом: пусть 1-м будет большой, 2-м — указательный, 3-м — средний, 4-м — безымянный, 5-м — мизинец, 6-м — снова безымянный, 7-м — средний, 8-м — указательный, 9-м — большой, 10-м — указательный, и так далее. Какой палец будет 2009-м?

9.

На доске написано число 23. Каждую минуту число стирают с доски и на его место записывают произведение его цифр, увеличенное на 12. Какое число окажется на доске через час?

10.

Математик Вася написал для робота 5 различных натуральных чисел (то есть целых и больших нуля), каждое на своей карточке, и сложил в стопку. Робот действует по следующей программе: проезжает столько метров, сколько написано на верхней карточке, после чего перекладывает ее вниз стопки и поворачивает влево на 90 градусов.

а)

Какие числа может написать Вася, чтобы робот после нескольких операций вернулся в исходную точку?

б)

Какие числа может написать Вася, чтобы робот после менее чем 10 операций вернулся в исходную точку?

в)

Верно ли, что какие бы числа не были написаны, робот обязательно вернется в исходную точку?

г)

За какое наименьшее число ходов робот может вернуться в начальную точку?

11.

Семеро пятиклассников на перемене решили сыграть в такую игру: каждый положил правую руку на левое плечо одному из своих одноклассников. Докажите, что у них получились один, два или три хоровода.

12.

В алфавите людоедского племени 7 букв: Л, Ю, Д, О, Е, С, К. Людоедские шпионы обмениваются зашифрованными сообщениями. Алгоритм шифрования заменяет каждую из 7 людоедских букв на какую-то другую букву, причём разные заменяются на разные (чтобы можно было восстановить исходный текст, сделав обратную замену). а) Докажите, что после нескольких применений этого алгоритма мы вернёмся к исходному тексту. б) Мы не знаем правило замены, но у нас есть зашифрованный текст и программа, реализующая алгоритм шифрования. Программу можно запускать любое число раз. Какой длины цикл нужно выставить, чтобы наверняка прочитать исходный текст?