МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководитель Елена Сергеевна Суханова
2008/2009 учебный год

Занятие 3 - Поделись улыбкою своей

Делимость.
Основные понятия: «число делится нацело на другое число», признаки делимости, периодичность остатков, делимость для отрицательного числа.

Часть первая

0.
Вспомните признаки делимости на 2, 4, 8, 5, 10, 25, 3 и 9.
1.
а)
К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.

Ответ

б)
К числу 10 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы получилось число, кратное 72.

Ответ

2.
Помогите Вовочке решить ребус: 3×1xy=z36

Решение Ответ

Решение. Число z36 делится на 3, значит z либо 3, либо 6, либо 9. Но из этих трех нам подходит только 3, значит x=1, y=2. Проверим. 3*112=336.
Ответ. x=1,y=2,z=3.
3.
А этот ребус Вовочка долго не мог решить: АБ×ВГ=ДДЕЕ. А имеет ли он решение?

Решение

Решение. ДДЕЕ Делится на 11 по признаку делимости, однако ни АБ, ни ВГ не делится на 11, значит такого быть не может.
4.
Машенька начала считать пальцы на своей руке от большого до мизинца, потом развернулась и продолжила счет (теперь большой стал девятым), потом опять развернулась. Так она считала до 2008. Выучивший математику Вовочка сразу догадался на каком пальце закончился счет. А вы?

Ответ

Ответ. На втором пальце

Часть вторая

5.
Докажите, что сумма 87365999324522345 + 87365999324522346 + 87365999324522347 + 87365999324522348 + 87365999324522349 + 87365999324522350 + 87365999324522351 делится на 7 и на 87365999324522348.

Решение

Решение. Обозначим a=87365999324522348, тогда можем представить верхнюю сумму в качестве (a-3)+(a-2)+(a-1)+a+(a+1)+(a+2)+(a+3)=7*a, а значит сумма делится на 7 и на 87365999324522348.
6.
На какую цифру заканчиваются числа
a)
2^(100)

Ответ

b)
7^(77777)

Ответ

c)
777

Ответ

7.
Отметьте на числовой оси все натуральные числа, которые при делении на 7 дают остаток 2. (Нарисуйте отрезок числовой оси от − 20 до  + 20).

Ответ

Ответ. Это числа -19;-12;-5;2;9;16
8.
Машенька заметила, что если к любому трёхзначному числу приписать все его цифры в обратном порядке, то получится число, кратное 11. Например, 120021=11×10911. Докажите это! Останется ли свойство верным для четырёхзначных чисел?

Решение

Решение. Пусть это трехзначное число abc, то дописав его, мы получим число вида abccba. Рассмотрим признак делимости на 11. a+c+b=b+c+a, значит число такого вида всегда делится на 11. Пусть это четырехзначное число abcd, то дописав его, мы получим число вида abcddcba. Рассмотрим признак делимости на 11. a+c+d+b=b+d+c+a, значит число такого вида всегда делится на 11.

Часть третья. Дополнительная.

9.
Существует ли натуральное число, произведение цифр которого равно 528?
10.
Докажите, что если a и 5a имеют одинаковую сумму цифр, то a делится на 9.
11.
Натуральное число N в 99…9 (цифра 9 повторяется k раз) раз больше суммы своих цифр. Укажите все возможные значения k и для каждого из них приведите пример такого числа.