МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководитель Елена Сергеевна Суханова
2008/2009 учебный год

Письменная работа

1.
Садовод полил помидоры из расчета 1 лейка на 5 кустов, но потом вычитал в интернете, что 1 лейку надо выливать на 4 куста. Как ему теперь надо "дополить" помидоры, чтобы действительно получилось 1 лейка на 4 куста?

Решение Ответ

Решение. На каждый куст ушло 1/5 лейки, а надо 1/4, значит нужно долить из расчета 1/4 − 1/5=1/20 лейки, то есть на 20 кустов 1 лейку
Ответ. Долить из расчета 1 лейка на 20 кустов.
2.
Нарисуйте карту из 4 стран, в которой любые две страны граничат друг с другом.

Ответ

3
В треугольнике ABC биссектрисы, проведенные из вершин A и C, пересекаются в точке O.Угол ABC=60°. Найдите угол AOC.

Решение Ответ

Решение.

Т.к. AO и CO — биссектриссы, то углы BAO=OAC=α, BCO=OCA=β AOC=γ. Из треуольника ABC следует, что 60° + 2α + 2β=180°, значит α + β=60°. Из треугольника AOC следует, что γ + α + β=180°, значит γ=120°.
Ответ. Угол AOC=120°
4.
У всех марсиан по 3 руки. Могут ли 7 марсиан взяться за руки так, чтобы каждая рука держала ровно одну другую руку?

Решение Ответ

Решение. Всего у семи марсиан 21 рука, значит разбивая на пары, мы обнаружим, что 1 рука останется без пары, значит нельзя.
Ответ. Нет
5.
Среди волшебников каждый седьмой – ребенок, а среди детей каждый девятый – волшебник. Кого больше: детей или волшебников? Ответ объясните.

Решение Ответ

Решение. Возьмем множество детей-волшебников(A) с одной стороны оно равно одной девятой множества волшебников (В/9) и с другой стороны равняется одной седьмой множества детей (Д/7). Получаем что 9*Д=7*В, а значит волшебников больше.
Ответ. Детей больше
6.
Агент Смит послал зашифрованное сообщение в штаб. Шифр состоит из трех букв E, A и T. Сообщением является любая последовательность, состоящая не более, чем из 4 букв. Сколько различных сообщений может послать Агент Смит?

Решение Ответ

Решение. Слово может состоять из 1, 2, 3 и 4 символов.
Число комбинаций слова длинны 1 — 3; (Аналогично 4ому)
Число комбинаций слова длинны 2 — 9; (Аналогично 4ому)
Число комбинаций слова длинны 3 — 27; (Аналогично 4ому)
Число комбинаций слова длинны 4 — 81;
(На первом месте стоит одна из трех, на втором одна из трех, на третьем одно из трех, на четвертом одна из трех, значит по формуле сочетаний 34)
Просуммируем, и получим ответ(120).
7.
Внутри острого угла отметили точку С. Постройте на сторонах угла точки А и В так, чтобы треугольник АВС имел наименьший периметр.

Ответ

Ответ.

Убедиться, что это верно, можно, использовав несколько раз правило треугольника. Мы предлагаем вам разобраться с этим самим.