МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Задание 10 - Разрезания

Часть 1. Теорема Пифагора.

1.

Разрежьте 5 клеточный крест на части и сложите из них квадрат.

2.

Разрежьте прямоугольник 1×5 на 5 частей, из которых сложите квадрат.

3.

Перекроите квадрат в 5 равных квадратов.

4.

Можно ли разрезать квадрат 8×8 на части, из которых складывается прямоугольник 5×13?

5.

Разрежьте квадрат 7×7 на

a)

квадраты 4×4, квадрат 3×3 и 4 равных прямоугольных треугольника;

b)

один квадрат и 4 прямоугольных треугольника, равных треугольникам из пункта a.

 c)

найдите размер квадрата в пункте b.

Часть 2. Вокруг теоремы Пифагора

6.

Докажите геометрически равенства:

a)

(a + b)² = a² + 2ab + b²;

b)

(a − b)² = a² − 2ab + b²;

c)

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc;

d)

a² − b² = (a + b)(a − b);

7.

Даны 4 прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой c. Докажите, что можно будет составить квадрат со стороной a + b, добавив к ним

a)

один квадрат со стороной c;

b)

два квадрата со сторонами a и b;

8.

В прямоугольнике вырезанном из клетчатой бумаги, провели диагональ. Сколько клеток она пересекает, если его размер :

a)

7×13;

b)

100×170;

c)

n×m;

9.

Пусть a² + b² = c². Перекроите квадрат со стороной c в два квадрата со сторонами a и b (число частей не должно зависеть от a и b).

10.

Пусть каждая спичка имеет длину 1 дюйм. Сложите из 12 таких спичек одну фигуру площади 4 кв. дюйма.