МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководитель Елена Сергеевна Суханова
2008/2009 учебный год

Занятие 1 - Разнобой

Часть первая

1.

Найти наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 становится квадратом, а после умножения на 3 — кубом целого числа.

Решение Ответ

Решение. Число должно быть представлено в виде (2^x)*(3^y)*(a^z), где x,y,z ∈ N, и где x≡0(mod 3) и y≡2(mod 3) и z≡0(mod 6). Так, как (2^x*2)*(3^y)*(a^z) представимо в виде квадрата, а (2^x)*(3^y*3))*(a^z) представима в виде куба. Чтобы число было наименьшим, возьмем x=3, y=2, z=0. Получим ответ, то есть (2³)*(3²)=72

Ответ. 72

2.

На острове Невезения живут 100 человек, причём некоторые из них всегда лгут, а остальные говорят только правду. Каждый житель острова поклоняется одному из трёх богов: богу Солнца, богу Луны или богу Земли. Каждому жителю острова задали три вопроса:

Поклоняетесь ли Вы богу Солнца?
Поклоняетесь ли Вы богу Луны?
Поклоняетесь ли Вы богу Земли?

На первый вопрос утвердительно ответили 60 человек, на второй — 40 человек, а на третий — 30 человек. Сколько лжецов на острове?

Решение Ответ

Решение. Пусть x-количество лжецов, а y-количество остальных. Каждый лжец дает два ответа "Да", а остальные только одно "Да". Общее количество ответов "Да" равно 60 + 40 + 30=130 Из этого мы можем вывести систему:

{	`x`	+	`y`	=	100
{	`x`	+	`2*y`	=	130

А из этого следует, что y=30 ⇒ x=70. Значит количество лжецов равно 70.

Ответ. 70

3.

Докажите, что медиана AM в треугольнике ABC по длине больше, чем ^{(AB + AC − BC)}/₂

Решение

Решение.

AM + ^BC/₂ > AB и AM + ^BC/₂ > AC ⇒ 2*AM + BC > AB + BC ⇒ 2*AM > AB + AC − BC

Часть вторая

4.: Есть два бикфордова шнура различной длины и непостоянной толщины. Известно, что каждый сгорает ровно за одну минуту. Как при помощи этих шнуров отмерить ровно 45 секунд?
Решение

Решение. Подожжем первый шнур с разных концов, и сразу же зажжем второй шнур с одного конца. Когда догорит первый шнур, то на втором шнуре останется веревки на 30 секунд, и тогда мы подожжем втрой шнур с другого конца. Тогда он будет гореть пятнадцать секунд. Значит всего мы отмерили 45 секунд.
5.: Докажите, что из любых 52 целых чисел всегда существуют два, разность или сумма которых делится на 100.
Решение

Решение. По принципу Дирихле из 52 чисел всегда найдется 2 числа с одинаковым по модулю остатком при делении на 100. (остатки: 51,52, .. , 98, 99 можно рассматривать как псевдо-остатки: «-50», «-49», .., «-2», «-1» ). Тогда если знак остатков одинаковый, то разность чисел будет делиться на 100, если знак разный, то сумма.
6.: На поле стояли 777 гангстеров, и все они находились на попарно различных расстояниях друг от друга. Гангстеры одновременно выхватили пистолеты и каждый выстрелил в ближайшего. Докажите, что хотя бы в одного гангстера никто не стрелял.
Решение

Решение. Предположим, что такого гангстера нет. Тогда гангстеры могут разбиваться либо по парам, либо по замкнутым цепочкам, в которых первый стрелявший находится дальше всех, последний стреляет в предпоследнего и последний стреляет в первого. Очевидно, пары возможны. Докажем, что невозможны замкнутые цепочки (последний стреляет в первого) с количеством человек больше 2. Представим цепочку, где 1 стреляет в 2, 2 - в 3 и т.д. ... , n+1 стреляет в n, а n - в 1. И пусть n>2. По условию, расстояния должны все время убывать: 1 - 2 > 2 - 3 > .... > (n-2) - n-1 > 1 - 2. Что невозможно в случае строгих неравенств. Таким образом замкнутых цепочек нет. Возможны только пары и цепочки 1→2→3→..→n-1→n, в которых есть человек, в которого никто не стреляет. Так как человек нечетное число, то цепочки заведомо есть. Получили противоречие нашему предположению. Следовательно, есть гангстер, в которого никто не стреляет.
7.: Из картона склеен кубик. Двое играют в игру, делая ходы по очереди. За ход можно разрезать кубик по любому ребру. Проигрывает тот, после чьего хода кубик развалится. Кто выиграет при правильной игре?
Решение Ответ

Решение. Кубик рассмотрим в виде графа, у которого вершинам будут соответствовать грани, а ребрам – наличие ребра между двумя гранями. [надо сделать рисунок графа с пронумерованными вершинами]. Чтобы граф на данных вершинах был связен и содержал минимальное число ребер, он должен быть деревом, то есть содержать N-1 ребро, где N – количество вершин. При разрезании ребра куба, удаляется одно ребро из графа. Таким образом может остаться всего 5 ребер. Изначально их 12. Всего возможно ходов при правильной игре – 7. Таким образом 8 ход развалит кубик. 8 ход – ход второго.

Ответ. Выиграет первый игрок