МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Листок 7. Четность

1.

Можно ли разменять 100 рублей купюрами по 1, 3, 5, 25 рублей так, чтобы всего оказалось 45 купюр? (купюры в 1, 3, 5, 25, 100 рублей бывают)

2.

Разность двух целых чисел умножили на их произведение, могло ли получиться число 200720072007?

3.

Коля, Петя, Аня и Маша собирали грибы. Аня нашла на два гриба больше, чем Коля, а Маша — на 4 меньше, чем Петя. Дома Коля стал считать, сколько грибов собрали все вместе, и насчитал 75 грибов. Докажите, что он ошибся.

4.

На доске написано в строку 2007 целых чисел.

a)

Докажите, что одно из них можно будет стереть, и сумма оставшихся чисел будет четной.

b)

Верно ли это для 2008 чисел?

5.

Имеются гири массой 1, 2, … 21 г. Можно ли их разбить на несколько групп так, чтобы в каждой группе самая тяжелая гиря уравновешивала все остальные.

6.

Автомат по размену денег меняет монету в 20 р. На 3 монеты — 10, 5 и 5 р., а 50 р. — на 3 монеты: 20, 20, 10 р.. У Васи есть 11 монет. Может ли он с помощью автомата за несколько обменов получить 20 монет?

7.

Имеется 2007 переключателей. Изначально они все выключены. Разрешается выбрать любые два и перевернуть их в противоположное положение (т. е. выключенные включить, а включенные — выключить). Можно ли, проделав несколько раз эту операцию, привести их все во включенное состояние?

8.

Может ли существовать страна, в которой 2007 городов, а из каждого города выходят 27 дорог в разные города этой страны.

9.

За круглым столом сидят мальчики и девочки. Докажите, что количество пар соседей разного пола чётно.

10.

Книга состоит из 30 рассказов объёмом 1, 2, … 30 страниц. Рассказы печатаются с первой страницы, каждый рассказ начинается с новой страницы. Какое наибольшее количество рассказов может начинаться с нечётной страницы?

11.

Можно ли представить 1 в виде суммы дробей ¹/_a + ¹/_b +¹/_c + ¹/_d, где a, b, c и d — нечётные натуральные числа?

12.

На доске записаны натуральные числа от 1 до 20. Разрешается стереть любые два числа и вместо них написать их разность. После девяти таких операций на доске остается одно число. Может ли оно оказаться единицей?