МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Чётность (11.11.06 и 14.11.06)

1.

Четной или нечетной будет сумма двух четных чисел? А трех нечетных?

2.

Докажите, что из любых трёх целых чисел можно выбрать два, сумма которых чётна.

3.

Может ли сумма трёх чисел быть чётной, а произведение тех же трёх чисел — нечётным?

4.

Можно ли заплатить без сдачи:

а)

20 копеек семью монетами по 1, 5 и 10 копеек?

б)

20 копеек семью монетами по 1 и 5 копеек?

в)

25 копеек восемью монетами по 1 и 5 копеек?

5.

Андрей купил в магазине 20 тетрадей, 2 альбома для рисования, несколько карандашей по 6 р. 20 коп. и несколько ластиков по 4 рубля. Ему сказали, что в кассу следует уплатить 55 рублей 65 копеек. Андрей попросил пересчитать стоимость покупки и ошибка была устранена. Как Андрей догадался, что она была допущена?

6.

На шахматную доску размером 8*8 пролили краску. Может ли количество испачканных клеток быть на 17 меньше количества чистых клеток?

7.

Конь вышел из поля a1, сделал несколько ходов и вернулся в то же место. Докажите, что он сделал четное количество ходов.

8.

По кругу сцепили несколько шестеренок. Смогут ли они вращаться, если их было: а) двенадцать; б) тринадцать?

9.

По кругу написано 7 натуральных чисел. Верно ли, что среди этих чисел найдутся два соседних, сумма которых четна?

10.

На доске написано равенство: 1*2*3*4*5*6*7*8*9=20 (вместо символов «*» - в неизвестном порядке расставлены знаки «+» и «-»). Докажите, что это равенство не может быть верным.

11.

На доске 25*25 расставлены 25 шашек, причем их расположение симметрично относительно диагонали. Докажите, что одна из шашек расположена на диагонали.

12.

Записано четыре числа: 0, 0, 0, 1. За один ход разрешается прибавить 1 к любым двум из этих чисел. Можно ли за несколько ходов получить четыре одинаковых числа?

Дополнительные задачи

13.

Бился Иван Царевич со Змеем Горынычем, трехглавым и треххвостым. Одним ударом он мог срубить либо одну голову, либо один хвост, либо две головы, либо два хвоста. Но, если срубить один хвост, то вырастут два; если срубить два хвоста – голова; если срубить голову – вырастет новая, а если срубить две головы, то не вырастет ничего. Сможет ли Иван Царевич срубить все головы и хвосты Змею Горынычу?

14.

Лиса и два медвежонка делят 100 конфет. Лиса раскладывает конфеты на три кучки; кому какая достанется - определяет жребий. Лиса знает, что если медвежатам достанется разное количество конфет, то они попросят её уравнять их кучки, и тогда она заберёт излишек себе. После этого все едят доставшиеся им конфеты. а) Придумайте, как Лисе разложить конфеты по кучкам так, чтобы съесть ровно 80 конфет (ни больше, ни меньше). б) Может ли Лиса сделать так, чтобы в итоге съесть ровно 65 конфет?

Домашнее задание

1.

Маша говорит, что знает четыре числа, сумма и произведение которых – нечетные числа. Права ли Маша?

2.

Конь вышел из поля a1, обошел все клетки доски по одному разу и пришел в клетку h8. Могло ли такое быть?

3.

Можно ли расставить между числами 1, 2, 3, ..., 10 знаки + и – так, чтобы значение полученного выражения равнялось а) 7; б) 8?

4.

Восемь кустов малины растут в ряд. Известно, что число ягод, растущих на любых двух соседних кустах, отличается на 1. Может ли общее количество ягод равняться 2007?