МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 26 (30 апреля 2012)

1.

Что больше: ¹²³⁴⁵/₁₂₃₄₆ или ¹²³⁴⁶/₁₂₃₄₇?

2.

Что больше: 49914991 · 599159915991 или 59915991 · 499149914991?

3.

а)

Про 21 число известно, что сумма любых пяти из них положительна. Докажите, что сумма всех чисел положительна.

4.

На поле брани встретились армии Толстых и Тонких по 1000 человек в каждой. Сначала каждый толстый солдат выстрелил в одного из тонких; затем каждый уцелевший тонкий солдат выстрелил в одного из толстых.

а)

Докажите, что в живых осталось не менее 1000 солдат.

* * *

3.

б)

Про 21 число известно, что сумма любых пяти из них не меньше шести. Какой, самое меньшее, может быть сумма всех чисел?

4.

б)

После этого каждый уцелевший толстый солдат ещё раз выстрелил в одного из тонких. Какое наименьшее число солдат могло остаться в живых?

5.

Антон, Артем и Вера решили вместе 100 задач по математике. Каждый из них решил 60 задач. Назовем задачу трудной, если ее решил только один человек, и легкой, если ее решили все трое. Насколько отличается количество трудных задач от количества легких?

* * *

6.

Рассматриваются покрытия шахматной доски доминошками. Каких разбиений больше — тех, которые содержат доминошку a1-a2, или тех, которые содержат доминошку b2-b3?

7.

2012 школьников решали 6 задач. Оказалось, что в каждых трех работах можно найти решения по крайней мере 5 разных задач. Какое наименьшее количество решений могли сдать все школьники?