МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 19 (10 марта 2012 года). Инвариант

А вы, друзья, как ни садитесь, всё в музыканты не годитесь...

1.

На вешалке висят 20 платков. 17 девочек по очереди подходят к вешалке, и каждая либо снимает, либо вешает ровно один платок. Может ли после ухода девочек на вешалке остаться 10 платков? А сколько могло быть девочек, если осталось 10 платков?

2.

Шахматный верблюд ходит так: на одну клетку в каком-то направлении и на три в перпендикулярном. Может ли он за несколько ходов встать на соседнюю (имеющую общую сторону с исходной) клетку?

3.

В парке шесть клумб, на первой растёт 1 цветок, на второй — 2 цветка, ..., на шестой — 6 цветков. Если сорвать один или несколько цветков с одной из клумб, то на какой-то другой клумбе тут же вырастет столько же цветков. Может ли в некоторый момент число цветков на всех клумбах стать одинаковым? А если бы была ещё и седьмая клумба (с 7 цветками)?

4.

В заливе обитают 13 синих и 17 оранжевых медуз. Любые 2 медузы одного цвета, встретившись, сливаются и тут же делятся на 2 медузы другого цвета. 3 медузы одного цвета, встретившись, сливаются и превращаются в 1 медузу второго цвета. Кроме того, любая медуза в любой момент может разделиться на 3 части другого цвета. Может ли случиться так, что через некоторое время в заливе будет а) 14 синих и 18 оранжевых; б) 15 синих и 19 оранжевых; в) 25 синих и 14 оранжевых медуз?

5.

100 фишек выставлены в ряд. Разрешено менять местами две фишки, стоящие через одну фишку. Можно ли с помощью таких операций переставить все фишки в обратном порядке? Попробуйте описать все расположения фишек, которые можно получить с помощью таких операций.

* * *

Инвариантом называется свойство процесса, которое не меняется со временем. Например, в задаче 2 процесс — это изменение клетки, в которой находится верблюд, а инвариант — это цвет этой клетки.

4.

г) 100 синих и 104 оранжевых; д) 20 синих и 20 оранжевых; е) 18 синих и 10 оранжевых; ё) 24 синих и 18 оранжевых медуз?

6.

Миша написал на доске в некотором порядке 100 плюсов и 99 минусов. Время от времени Юра подходит к доске, стирает любые два знака и пишет вместо них один, причем если он стер одинаковые знаки, то вместо них он пишет плюс, а если разные, то минус. После нескольких таких действий на доске остался только один знак. Какой?

7.

На столе лежат 100 монет. За один ход игрок берёт одну, две или три монеты. Проигрывает тот, кому нечего взять. Кто выигрывает при правильной игре?

8.

Круг разделён на 6 секторов, в которых по часовой стрелке стоят числа 1, 0, 1, 0, 0, 0. Можно прибавлять по 1 к любым числам, стоящим в двух соседних секторах. Можно ли сделать все числа равными?

9.

Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать в другой цвет сразу все клетки, расположенные внутри квадрата размером 2×2. Может ли при этом на доске остаться ровно одна черная клетка?

* * *

10.

Каждая из расположенных по кругу 12 ламп может находиться в одном из двух состояний: гореть или не гореть. За один ход можно изменить состояние любых трех ламп, расположенных подряд. Вначале горит только одна лампа. Можно ли добиться того, чтобы горели все 12 ламп?

11.

На квадратном поле размером 10×10 клеток девять клеток поросли бурьяном. После этого бурьян может распространиться на клетку, у которой не менее двух соседних клеток уже поросли бурьяном. Докажите, что тем не менее бурьян не сможет распространиться на все клетки.